Prodotto scalare definito positivo

[Lang_Algebra]

Salve a tutti ho un mistero assurdo che non riesco a risolvere .... ma è di una banalità .... ma non...vabhe......

Ho la mia matrice che rappresenta un prodotto scalare::

2 1 0 0
1 1 k 0
0 k 1 0
0 0 0 1

Dire per quali K il prodotto scalare è definito positivo. Se lo faccio con la regoletta banale di cartesio mi viene corretto $-\frac{\sqrt{2}}{2} Ma se lo faccio imponendo che la forma quadratica associata sia positiva sempre mi viene tutt'altro valore !!!! Potete guardare un attimo se ho fatto qualche errore nel comletare i quadrati ? .... Cioè ... io l'ho controllato 1000 volte mi sembra tornare ..... allora ho inziato a pensare che non fosse un problema di conti ma di qualcosa di un po' più fine ... cioè che la forma quadratica che ho scritto in verità non è un qualcosa di diagonale ..... bho i conti sono cmq questi:

forma quadratica:
$2x^2+2xy+y^2+2kyz+z^2+w^2$

scrivo:
$2x^2+2xy = 2(x+\frac{y}{2})^2-\frac{y^2}{4}$

e
$2kyz + z^2 = (ky+z)^2-k^2y^2$

sostituisco ora nella forma quadratica

$2(x+y/2)^2-y^2(1/4+1-k^2)+(ky+z)^2 + w^2 >0$

e così viene: $-\frac{\sqrt{5}}{2}

incredibile .... bho ... dai il completamento dei quadrati è giusto !!!!!! ..... cosa nn funziona !????

[Steven11]

Il completamento dei quadrati non è giusto

$2x^2+2xy=2(x+y/2)^2-y^2/4$

Al secondo membro, se vedi bene, ottieni
$2x^2+2xy+y^2/2-y^2/4$

Ciao.

[mod="Steven"]Ho modificato il titolo del topic, in quanto è d'obbligo sceglierne di attinenti all'oggetto del topic.
Era "mistero assurdo...".[/mod]