Prodotto matrici ortogonali

[nomen1]

Come faccio a dimostrare che il prodotto di due matrici ortogonali è ancora una matrice ortogonale?

[pat871]

Siano A, B due matrici ortogonali.
Per definizione di matrice ortogonale:
$A*A^(t) = I & B*B^(t) = I$
da cui:
$(A*B)*(A*B)^(t) = (A*B)*(B^t)*(A^t) = A*(B*B^t)*A^t = A*I*A^t= A*A^t = I$
per cui il prodotto è di nuovo ortogonale.

[nomen1]

mi spieghi questo passaggio?

$(A*B)*(B^t)*(A^t) = A*(B*B^t)*A^t$

[pat871]

Il prodotto tra matrici è associativo, ovvero per tutte le terne di matrici $A,B,C$ hai che $(A*B)*C = A*(B*C)$ (naturalmente per matrici quadrate della stessa dimensione).
Per cui:
$(A*B)*(B^t*A^t) = A*(B*(B^t*A^t)) = A*((B*B^t)*A^t)$
Non avrebbe nemmeno senso mettere le parentesi quando un'operazione è associativa, ma così si capisce meglio ciò che ho fatto...