Problemino sulla continuità

[Jerome1]

Mi aiutereste ad eliminare un dubbio su di un problema sul quale mi sono bloccato?

Sia [tex]X[/tex] uno spazio metrico compatto. Se ho una funzione [tex]f: X \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(X)\subseteq \mathbb{R}[/tex] è compatto, allora [tex]f[/tex] è continua?
(Naturalmente, la topologia su [tex]X[/tex] è quella indotta dalla metrica e su [tex]\mathbb{R}[/tex] è quella naturale).

Vi ringrazio per l'attenzione!

[dissonance]

@j18eos: E questa è un'altra proposizione ancora!
Sono tutte proprietà diverse delle successioni in spazi topologici (solo l'ultima, questa che hai appena formulato, richiede una struttura metrica).

[j18eos]

Sì, la loro similitudine m'aveva imbrogliato in quanto le successioni di Cauchy in [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{nat})$[/tex] sono tutte e sole le successioni convergenti.