Problemino sulla continuità

[Jerome1]

Mi aiutereste ad eliminare un dubbio su di un problema sul quale mi sono bloccato?

Sia [tex]X[/tex] uno spazio metrico compatto. Se ho una funzione [tex]f: X \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]f(X)\subseteq \mathbb{R}[/tex] è compatto, allora [tex]f[/tex] è continua?
(Naturalmente, la topologia su [tex]X[/tex] è quella indotta dalla metrica e su [tex]\mathbb{R}[/tex] è quella naturale).

Vi ringrazio per l'attenzione!

[dissonance]

Falso. Prendi $f(x)={(1, x<0), (0, x>=0):}$ definita in $[-1, 1]$.

[Jerome1]

Giustissimo, grazie!

Visto che siamo in argomento, la risposta cambierebbe se richiedessi che anche il grafico

[tex]G(f):=\left\{\left(x,f(x)\right)\: : \: x \in K\right\} \subseteq K \times \mathbb{R}[/tex]

sia compatto (notare che questo implica che anche l'immagine di [tex]f[/tex] è compatta)?
Scusa se insisto, ma mi sono incuriosito!

[dissonance]

Quest'ultima richiesta mi pare che ti dia la continuità. Infatti prendi $x_n \to x$; essendo $G(f)$ compatto puoi estrarre dalla $(x_n, f(x_n))$ una sottosuccessione $(x_{h_n}, f(x_{h_n}))$ convergente: $x_{h_n}\to x$ per unicità del limite e $f_{h_n}$ converge. Si tratta di mostrare che converge al limite "giusto", ovvero a $f(x)$, il che seguirà dal fatto che il grafico è chiuso. Ti servirà anche, per concludere, un lemma topologico: se una successione è tale che ogni estratta ha a sua volta una estratta convergente, e tutte convergono allo stesso limite, la successione è convergente a questo limite.

Vedi un po' se riesci a sistemare i dettagli, e se trovi errori fai un fischio.

[j18eos]

"dissonance":...Ti servirà anche, per concludere, un lemma topologico: se una successione è tale che ogni estratta ha a sua volta una estratta convergente, e tutte convergono allo stesso limite, la successione è convergente a questo limite...

Non basta dire che ogni sua estratta convergente, converge allo stesso limite?

[cirasa]

A me sembra che ancora non funzioni.
La richiesta è valutare il valore di verità del seguente risultato.

Se [tex]X[/tex] è uno spazio metrico compatto e se [tex]f:X\to\mathbb{R}[/tex] è un'applicazione tale che il suo grafico [tex]G(f)[/tex] è compatto, allora [tex]f[/tex] è continua.

Beh, il risultato è falso. Il controesempio è qualcosa di simile a quello presentato da dissonance prima, cioè
[tex]X=[-2,-1]\cup[1,2][/tex] e [tex]f:X\to\mathbb{R}[/tex] tale che [tex]$ f(x)=\left\{\begin{matrix}-1 & \textrm{ se $x<0$} \\ 1 & \textrm{ se $x>0$}\end{matrix}\right.\textrm{, con $x\in X$}[/tex].
Naturalmente la metrica su [tex]X[/tex] è quella definita dalla metrica di [tex]\mathbb{R}[/tex].

Edit: Naturalmente non è un controesempio, in quanto la funzione $f$ è continua come è spiegato nel seguto.
Mi ritiro a meditare sulla mia boiata

[Jerome1]

Uhm...

Credo che così però [tex]G(f)[/tex] non sarebbe più un chiuso... sbaglio?

[cirasa]

Non vorrei sbagliarmi, ma a me sembra un chiuso:
[tex]G(f)=([-2,-1]\times\{-1\})\cup([1,2]\times\{1\})[/tex]

Si ha che [tex]G(f)\subset X\times\mathbb{R}[/tex].
Essendo [tex]X\times\mathbb{R}[/tex] un chiuso di [tex]\mathbb{R}^2[/tex], i suoi chiusi (se non ricordo male) dovrebbero essere tutte e sole le intersezioni di [tex]X\times\mathbb{R}[/tex] con un chiuso di [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Ora le due rette orizzontali in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] con ordinata [tex]-1[/tex] o [tex]1[/tex] sono chiusi di [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
La loro intersezione con [tex]X\times\mathbb{R}[/tex] è precisamente [tex]G(f)[/tex].

Non vedo errori...

[dissonance]

Ma infatti, cirasa, la tua $f$ è continua.

[OT]@j18eos: Certo che basta, ma l'altra proposizione è diversa, se ci pensi bene. Sì, all'inizio ti confondono queste "estratte delle estratte", ma quando capisci ti rendi conto che è molto semplice. Questo è un lemma che si usa spesso in analisi quando ci sono dei risultati di compattezza, che permettono di estrarre sottosuccessioni convergenti: ecco qua un esempio

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#395340

[Jerome1]

Hai sicuramente ragione: [tex]G(f)[/tex] è senz'altro compatto. Proviamo però a ragionare sulla discontinuità di [tex]f[/tex]: sappiamo dalla topologia che se [tex]X,Y[/tex] sono spazi topologici

[tex]f:X\rightarrow Y[/tex] è continua [tex]\Leftrightarrow \: f^{-1}(C)[/tex] è chiuso in [tex]X, \: \forall C \subseteq Y[/tex] chiuso

Prendiamo un qualunque chiuso [tex]C[/tex] di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se [tex]1,-1 \notin C[/tex], allora [tex]f^{-1}(C) = \emptyset[/tex] che è un chiuso di [tex]X[/tex].
Se [tex]1 \in C, -1 \notin C[/tex], allora [tex]f^{-1}(C) = [1,2][/tex], che è chiuso in [tex]X[/tex].
Se [tex]-1 \in C, 1 \notin C[/tex], allora [tex]f^{-1}(C) = [-2,-1][/tex], che è chiuso in [tex]X[/tex].
Se [tex]-1,1 \in C[/tex], allora [tex]f^{-1}(C) = [-2,-1] \cup [1,2] = X[/tex], che è chiaramente un chiuso di [tex]X[/tex]

Quindi quella [tex]f[/tex] che sembra essere palesemente discontinua è in realtà continua (il trucco dovrebbe risiedere nel fatto che il dominio è sconnesso)! Spero solo di non aver detto troppe boiate in una volta sola (ma tanto siamo qui per imparare, giusto?)!

[Jerome1]

Scusate, non mi ero accorto dissonance aveva già risposto al quesito (il browser non ha ricaricato la pagina!)

[dissonance]

@Jerome: Secondo me hai ragione. Per mostrare che quella funzione è continua c'è un trucco bello rapido: osservare che è ottenuta per incollamento di funzioni continue, ciascuna definita su un aperto (infatti $[-2, -1], [1, 2]$ sono aperti di $[-2, -1] uu [1, 2]$). Questo si chiama pasting lemma e penso che ne avrai sentito parlare, altrimenti non avrai problemi a dimostrarlo (si vede che sei uno in gamba):

Proposizione. Sia $X$ uno spazio topologico e ${U_alpha}_{alpha in J}$ un suo ricoprimento aperto. Sia ${f_alpha}$ una famiglia di funzioni continue di $U_{alpha}$ in uno spazio topologico $Y$ che possono essere incollate, ovvero tali che

$f_{alpha}(x)=f_{beta}(x)$ ogniqualvolta $x \in U_alpha nn U_{beta}$.

Definiamo $f(x)$ come l'incollamento delle $f_alpha$. Allora $f$ è continua.

[Jerome1]

@dissonance ti ringrazio per il complimento, che naturalmente rigiro! In effetti non conoscevo questo Lemma, ma ora me lo guardo per benino!
(Sto ancora provando a risolvere la questione del grafico, però voglio provare per altre vie più "topologiche"!)

Per quanto riguarda quel lemma sulle sotto-estratte che avevi tirato fuori, da che libro lo hai preso? Lo avevo già incontrato (sotto forma di esercizio), ma non sono mai riuscito a trovarlo in nessun testo.
Credo comunque di averlo provato per assurdo; magari più tardi posto la dimostrazione così mi dai un parere!

[cirasa]

Avete ragione. Scusatemi per la svista colossale...

[dissonance]

Il lemma sulle sottoestratte si incontra spesso sui libri di analisi, in genere così:

"... e quindi ogni estratta ha una estratta convergente a $x$. Lasciamo al lettore di mostrare che... "

quindi non sto a darti riferimenti bibliografici che si rivelerebbero inutili. Anche io lo dimostrerei per assurdo, quindi sono propenso a credere che la tua dimostrazione è giusta. Per il lemma di incollamento, invece, è facile da dimostrare e secondo me utile: un riferimento bibliografico è il libro di Munkres Topology, secondo capitolo.

@cirasa: Cose che capitano. Anzi a me è capitato proprio ieri! ( https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#449075 - bella figura ho fatto)

[Jerome1]

Ho detto che avrei postato quella dimostrazione, ed eccovela qui:

Lemma. Sia [tex]\left\{x_n\right\}\subseteq \mathbb{R}[/tex] una successione di reali tale che
[tex]\exists a \in \mathbb{R}: \: \forall \left\{x_{n_k}\right\} \subseteq \left\{x_n\right\},\: \exists \left\{x_{n_{k_j}}\right\} \subseteq \left\{x_{n_k}\right\} \mbox{ t. c. } x_{n_{k_j}} \stackrel{j\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} a[/tex]
Allora
[tex]\lim_{n\rightarrow +\infty}{x_n} = a[/tex]

Dimostrazione. Escludiamo il caso banale della successione definitivamente costante [tex]x_n \equiv a, \forall n>N[/tex]. Supponiamo per assurdo che [tex]x_n[/tex] non converga ad [tex]a[/tex]. Allora, per definizione
[tex]\exists \varepsilon > 0: \: \forall N \in \mathbb{N}, \exists n_N>N \mbox{ t.c. } \left|x_{n_N} - a\right| \ge \varepsilon[/tex]
Costruiamo allora la sottosuccessione [tex]x_{n_k}[/tex] come segue: l'affermazione precedente vale [tex]\forall N \in \mathbb{N}[/tex], e quindi
[tex]\begin{itemize}
\item Per $N=1$, $\exists n_1 > 1 \mbox{ t.c. } \left|x_{n_1} - a\right| \ge \varepsilon$
\item Per $N=2$, $\exists n_2 > 2 \mbox{ t.c. } \left| x_{n_2} - a \right| \ge \varepsilon$ \\ \dots
\item Per $N=k$, $\exists n_k > k \mbox{ t.c. } \left|x_{n_k} - a\right| \ge \varepsilon$ \\ \dots
%\cdots
\end{itemize}[/tex]
A meno di riordinare e scartare gli [tex]n_k$[/tex] così ottenuti, possiamo supporre
[tex]n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots[/tex]
i.e. che la successione [tex]\left\{n_k\right\}[/tex] sia strettamente crescente. Avremo così trovato una sottosuccessione [tex]\left\{x_{n_k}\right\} \subseteq \left\{x_n\right\}[/tex] tale che
[tex]\left| x_{n_k} - a \right| \ge \varepsilon, \quad \forall k \in \mathbb{N}[/tex]
che quindi non ammette alcuna sotto-sottosuccessione convergente ad [tex]a[/tex], in contraddizione con le ipotesi fatte [tex]\square[/tex]

Resto in attesa di eventuali critiche e/o approvazioni!

[cirasa]

Io approvo e mi scuso nuovamente con te per la svista precedente

[Jerome1]

Ti ringrazio per l'approvazione! E non preoccuparti per la svista di prima, può capitare a chiunque (infatti ad una prima occhiata non me ne ero accorto neanche io!)

[dissonance]

Approvo anche io. Un dettaglio stilistico:

A meno di riordinare e scartare ...

Scegliendo meglio gli $n_k$ ti saresti potuto risparmiare questo passaggio. Precisamente: supponi di avere già scelto $n_1 >1$. Adesso devi scegliere $n_2$ e tu lo prendi $n_2>2$: perché non prenderlo, invece, così

$n_2 > "max"{2, n_1}$

E poi continuare su questa strada:

$n_3 > "max" {3, n_2}$

eccetera. In questa maniera la successione che ottieni è già ordinata come $n_1

Cita

Segnala

[Jerome1]

@dissonance direi che così è proprio perfetto! Così la dimostrazione è decisamente più elegante!

[j18eos]

Mi sono collegato solo ora ed ho letto la dimostrazione di Jerome ed ho capito la differenza, pensandoci mi sono ricordato che: se una successione estratta di una successione di Cauchy [tex]$\{x_n\in\mathbb{S}\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex]; in uno spazio metrico [tex]$(\mathbb{S};d)$[/tex], convergesse al limite [tex]$l\in\mathbb{S}$[/tex] allora la successione [tex]$\{x_n\in\mathbb{S}\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex] convergerebbe ad [tex]$l\in\mathbb{S}$[/tex].