Problemi circa le parabole
Vi volevo sottoporre due esercizi che non sono riuscito a svolgere correttamente, sperando che mi possiate dare una dritta
PROBLEMA 1)
Determinare la parabola con fuoco in $O$, asse $r:2x+y=0$ e passante per $H(2,0)$
Ho provato questo approccio, per il fuoco passano due rette $[FI_1]$ ed $[FI_2]$ dove $I_1,I_2$ sono i punti ciclici, e so che queste sono tangenti alla conica.
posso perciò considerare il fascio bitagente composto dalla conica $gamma_1:([FI_1];[FI_2])$ e da $gamma_2$ doppiamente degenere nella retta $[I_1I_2]$ ed imponendo il passaggio per $H$ dovrei ottenere la mia conica. Ma non uso il fatto che l'asse sia quello, la risoluzione mi lascia molto perplesso...
PROBLEMA 2)
Determinare la parabola con vertice $V(1,1)$, asse $r:$$x-y=0$ e passante per $Q(4,0)$
Qui sono riuscito solamente a determinare la retta tangente del vertice, che so dalla teoria essere perpendicolare ad $r$ per $Q$-
Ma non riesco a capire come continuare...
Grazie a tutti!
PROBLEMA 1)
Determinare la parabola con fuoco in $O$, asse $r:2x+y=0$ e passante per $H(2,0)$
Ho provato questo approccio, per il fuoco passano due rette $[FI_1]$ ed $[FI_2]$ dove $I_1,I_2$ sono i punti ciclici, e so che queste sono tangenti alla conica.
posso perciò considerare il fascio bitagente composto dalla conica $gamma_1:([FI_1];[FI_2])$ e da $gamma_2$ doppiamente degenere nella retta $[I_1I_2]$ ed imponendo il passaggio per $H$ dovrei ottenere la mia conica. Ma non uso il fatto che l'asse sia quello, la risoluzione mi lascia molto perplesso...
PROBLEMA 2)
Determinare la parabola con vertice $V(1,1)$, asse $r:$$x-y=0$ e passante per $Q(4,0)$
Qui sono riuscito solamente a determinare la retta tangente del vertice, che so dalla teoria essere perpendicolare ad $r$ per $Q$-
Ma non riesco a capire come continuare...
Grazie a tutti!
Risposte
"mistake89":
Determinare la parabola con vertice $V(1,1)$, asse $r:$$x-y=0$ e passante per $Q(4,0)$
Costruisci il fascio di coniche tangenti in $V(1;1)$ alla retta $t: x+y-2=0$ e passanti
per i punti $Q$ e $Q'$ (simmetrico di $Q$ rispetto all'asse $r$).
Imponi successivamente che si tratti di una parabola, annullando il determinante
della matrice principale 2x2 (otterrai 2 valori del parametro, ma solo per
uno di essi avrai una parabola).
Ho capito! Ti ringrazio Fraced
Facendo come dici Franced, ottengo due valori $k=0Vk=-1/4$ ma per entrambi la conica mi risulta degenere...
Idea di risoluzione per il primo esercizio: (come al solito lascio a te il controllo che non stia dicendo cavolate)
Come hai giustamente pensato, devi usare il fascio bitangente nei punti $P_1$ e $P_2$ (intersezione della conica con le rette isotrope per $F$)
Ecco un disegno. Tieni conto che tutte le rette disegnate sono complesse, quindi non disegnabili sul piano reale. Anche per la conica che io ho disegnato come una circonferenza, naturalmente è solo per rendere l'idea.
Le rette $t_1$ e $t_2$ sono le rette isotrope per $F$ (per definizione di fuoco, tangenti alla parabola), la retta $[P_1,P_2]$ è la polare di $F$ che è la direttrice. La direttrice come ben sai è perpendicolare all'asse e quindi ha equazione $y=1/2x+k$.
Pertanto il fascio bitangente è
$\lambda(x^2+y^2)+(1/2x-y+k)^2=0$
E qui, secondo me, dovresti imporre il passaggio per $H$ e dovresti imporre che sia una parabola. Vedi un po' cosa ne viene fuori...
Come hai giustamente pensato, devi usare il fascio bitangente nei punti $P_1$ e $P_2$ (intersezione della conica con le rette isotrope per $F$)
Ecco un disegno. Tieni conto che tutte le rette disegnate sono complesse, quindi non disegnabili sul piano reale. Anche per la conica che io ho disegnato come una circonferenza, naturalmente è solo per rendere l'idea.
Le rette $t_1$ e $t_2$ sono le rette isotrope per $F$ (per definizione di fuoco, tangenti alla parabola), la retta $[P_1,P_2]$ è la polare di $F$ che è la direttrice. La direttrice come ben sai è perpendicolare all'asse e quindi ha equazione $y=1/2x+k$.
Pertanto il fascio bitangente è
$\lambda(x^2+y^2)+(1/2x-y+k)^2=0$
E qui, secondo me, dovresti imporre il passaggio per $H$ e dovresti imporre che sia una parabola. Vedi un po' cosa ne viene fuori...
Ti ringrazio Cirasa... non riesco solo a capire perchè la retta $[P_1,P_2]$ sia polare per $F$. Io sono riuscito a trovare che vale ciò nel caso della circonferenza. E' estendibile anche al caso della parabola?
So che lo sai, perchè ho visto la tua risposta al post di un altro utente. Devi solo rifletterci un po'.
Sia $A$ un punto che non appartiene ad una conica di rango $3$. Da $A$ traccio le due tangenti alla conica che la intersecano rispettivamente nei punti $P_1$ e $P_2$.
La retta $[P_1,P_2]$ è .........
Ora prendi $A=F$ e il gioco è fatto.
Sia $A$ un punto che non appartiene ad una conica di rango $3$. Da $A$ traccio le due tangenti alla conica che la intersecano rispettivamente nei punti $P_1$ e $P_2$.
La retta $[P_1,P_2]$ è .........
Ora prendi $A=F$ e il gioco è fatto.
giustissimo! 
Io sto provando a svolgere i conti che mi hai suggerito, appena li termino li controllo e li posto.
Volevo chiedere però una cosa, banale immagino.
La mia risoluzione è grosso modo questa che hai indicato tu, il mio errore sta nel fatto che ho considerato la retta $[P_1,P_2]$ come una retta passante per due punti qualsiasi e quindi ottenevo l'equazione $x=1$. Questo è ovviamente sbagliato, mi pare di capire. Quindi nel caso dei punti ciclici non posso calcolarmi la retta con la solita formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$?
Io sto provando a svolgere i conti che mi hai suggerito, appena li termino li controllo e li posto.
Volevo chiedere però una cosa, banale immagino.
La mia risoluzione è grosso modo questa che hai indicato tu, il mio errore sta nel fatto che ho considerato la retta $[P_1,P_2]$ come una retta passante per due punti qualsiasi e quindi ottenevo l'equazione $x=1$. Questo è ovviamente sbagliato, mi pare di capire. Quindi nel caso dei punti ciclici non posso calcolarmi la retta con la solita formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$?
Provando dapprima ad annullare il determinante di $A_0$ ottengo due valori possibili di $lambda$ cioè $0$ e $-5/4$
Per entrambi però ottengo coniche degeneri.
Per entrambi però ottengo coniche degeneri.
Forse non sono stato sufficientemente chiaro [size=75]e non ho capito la tua domanda[/size].
I punti $P_1$ e $P_2$ non sono i punti ciclici (che, come ben sai, appartengono entrambi alla conica se e solo se la conica è una circonferenza) ma sono le intersezioni delle rette isotrope per $F$ con la conica. Ti faccio notare che noi, almeno inizialmente, non conosciamo chi sono questi due punti.
Qui non ho capito cosa volevi dire. Se i due punti sono qualsiasi, come fai ad ottenere quell'equazione?
Detto questo, la formula che hai citato vale sempre per trovare la retta passante per due punti (anche complessi).
Ora devo andare. Se ho tempo, pomeriggio controllo meglio l'esercizio, altrimenti domattina lo vediamo insieme
I punti $P_1$ e $P_2$ non sono i punti ciclici (che, come ben sai, appartengono entrambi alla conica se e solo se la conica è una circonferenza) ma sono le intersezioni delle rette isotrope per $F$ con la conica. Ti faccio notare che noi, almeno inizialmente, non conosciamo chi sono questi due punti.
"mistake89":
il mio errore sta nel fatto che ho considerato la retta $[P_1,P_2]$ come una retta passante per due punti qualsiasi e quindi ottenevo l'equazione $x=1$.
Qui non ho capito cosa volevi dire. Se i due punti sono qualsiasi, come fai ad ottenere quell'equazione?
Detto questo, la formula che hai citato vale sempre per trovare la retta passante per due punti (anche complessi).
Ora devo andare. Se ho tempo, pomeriggio controllo meglio l'esercizio, altrimenti domattina lo vediamo insieme
credo fossero i punti ciclici ci penserò ancora un pò!
Grazie!
ci penserò ancora un pò! Grazie!
"franced":
[quote="mistake89"]
Determinare la parabola con vertice $V(1,1)$, asse $r:$$x-y=0$ e passante per $Q(4,0)$
Costruisci il fascio di coniche tangenti in $V(1;1)$ alla retta $t: x+y-2=0$ e passanti
per i punti $Q$ e $Q'$ (simmetrico di $Q$ rispetto all'asse $r$).
Imponi successivamente che si tratti di una parabola, annullando il determinante
della matrice principale 2x2 (otterrai 2 valori del parametro, ma solo per
uno di essi avrai una parabola).[/quote]
Il punto $Q'$ ha coordinate $(0;4)$; l'equazione del fascio è
[tex](x + y - 4)(x + y - 2) + \lambda (3\,x + y - 4) (x + 3\,y - 4) = 0[/tex]
sviluppando si ottiene:
[tex](1 + 3\,\lambda)x^2 + (2 + 10\,\lambda)xy + (1 + 3\,\lambda)y^2
+ (-16\,\lambda - 6)x + (-6 - 16\,\lambda)y + 8 + 16\,\lambda = 0[/tex]
annullando il det 2x2 si trova
[tex](1 + 3\,\lambda) \cdot (1 + 3\,\lambda) - (1 + 5\,\lambda)^2 = 0[/tex]
e quindi i valori [tex]\lambda = 0[/tex] e [tex]\lambda = - \dfrac{1}{4}[/tex].
Con il primo valore abbiamo le rette parallele [tex](x + y - 4)(x + y - 2) = 0[/tex],
mentre con [tex]\lambda = - \dfrac{1}{4}[/tex] otteniamo la parabola
[tex]x^2 - 2\,x y + y^2 - 8\,x - 8\,y + 16 = 0[/tex]
(ho moltiplicato per 4).
Grazie Franced... è esattamente l'equazione che ho trovato io (hai dimentica un $y$ vicino al $-8$)
EDIT: ho trovato anche l'errore nello sviluppo del determinante... grazie mille ancora e scusa per l'errore.
EDIT: ho trovato anche l'errore nello sviluppo del determinante... grazie mille ancora e scusa per l'errore.
Prego.
Tieni conto che esiste una soluzione alternativa, infatti basta riflettere sul fatto che
la parabola che cerchi è tangente anche alla retta impropria nel suo punto $(1,1,0)$.
Quindi ti puoi costruire il fascio bitangente alla retta impropria $x_3 = 0$ in $(1,1,0)$
e alla retta $x_1 + x_2 - 2 x_3 = 0$ (N.B.: in coordinate omogenee), imponendo
successivamente il passaggio dal punto $Q(4,0,1)$.
Tieni conto che esiste una soluzione alternativa, infatti basta riflettere sul fatto che
la parabola che cerchi è tangente anche alla retta impropria nel suo punto $(1,1,0)$.
Quindi ti puoi costruire il fascio bitangente alla retta impropria $x_3 = 0$ in $(1,1,0)$
e alla retta $x_1 + x_2 - 2 x_3 = 0$ (N.B.: in coordinate omogenee), imponendo
successivamente il passaggio dal punto $Q(4,0,1)$.
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