Problema Topologia
Salve,
sto alle prese con questo esercizio:
Il punto che mi crea problemi è il punto c. La funzione compatibile che ho trovato per costruire l'omeomorfismo dal cilindro quozientato ad una palla centrata nell'origine (da lì l'omeomorfismo con tutto il piano è immediato) è:
\( f(\vec{p},z) = (1-z)\vec{p} \)[strike][/strike]
Il problema è che proprio non riesco a dimostrare che mandi aperti saturi in aperti, più nello specifico che mandi aperti saturi contenenti il bordo superiore del cilindro in un aperto contenente l'origine. Ho anche provato a dimostrare la continuità della funzione inversa composta \( \pi \circ f^{-1} \), ma senza successo. Il punto focale contro il quale mi scontro consiste nel dimostrare nello specifico che:
Dato un generico aperto saturo $A$ contenente il bordo superiore del cilindro (circonferenza in $z=1$) esiste necessariamente una palla di raggio non nullo centrata nell'origine tale che \( f^{-1}(B(0,\epsilon )) \subseteq A \).
Suggerimenti?
Grazie infinite
PS: non posso usare strumenti di algebra, in quanto ancora non l'abbiamo studiata.
sto alle prese con questo esercizio:
Il punto che mi crea problemi è il punto c. La funzione compatibile che ho trovato per costruire l'omeomorfismo dal cilindro quozientato ad una palla centrata nell'origine (da lì l'omeomorfismo con tutto il piano è immediato) è:
\( f(\vec{p},z) = (1-z)\vec{p} \)[strike][/strike]
Il problema è che proprio non riesco a dimostrare che mandi aperti saturi in aperti, più nello specifico che mandi aperti saturi contenenti il bordo superiore del cilindro in un aperto contenente l'origine. Ho anche provato a dimostrare la continuità della funzione inversa composta \( \pi \circ f^{-1} \), ma senza successo. Il punto focale contro il quale mi scontro consiste nel dimostrare nello specifico che:
Dato un generico aperto saturo $A$ contenente il bordo superiore del cilindro (circonferenza in $z=1$) esiste necessariamente una palla di raggio non nullo centrata nell'origine tale che \( f^{-1}(B(0,\epsilon )) \subseteq A \).
Suggerimenti?
Grazie infinite
PS: non posso usare strumenti di algebra, in quanto ancora non l'abbiamo studiata.
Risposte
Ho avuto un'idea: si può sfruttare la compattezza della circonferenza. Pertanto dato un ricoprimento aperto saturo del bordo superiore del cilindro, si può estrarre un ricoprimento finito ancora saturo. Da qui si può giungere alla mia tesi.
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