Problema Geometria
Ho da risolvere questo problema:
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $R(O;i,j)$, determinare le coordinate dei vertici dei due triangoli di area 5 aventi come base il segmento di estremi $A(1,0)$ e $B(5,-2)$.
Premetto che a prima vista mi sembra un problema banale, però non riesco a risolverlo, non riesco a trovare il ragionamento giusto per la risoluzione. Potete darmi qualche consiglio su come ragionare?Qualche indizio!
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $R(O;i,j)$, determinare le coordinate dei vertici dei due triangoli di area 5 aventi come base il segmento di estremi $A(1,0)$ e $B(5,-2)$.
Premetto che a prima vista mi sembra un problema banale, però non riesco a risolverlo, non riesco a trovare il ragionamento giusto per la risoluzione. Potete darmi qualche consiglio su come ragionare?Qualche indizio!
Risposte
Indizio: in realtà ci sono più di due triangoli che soddisfano la richiesta
Comunque, hai la base e l'area, e dunque l'altezza.
Comunque, hai la base e l'area, e dunque l'altezza.
"pic":
Indizio: in realtà ci sono più di due triangoli che soddisfano la richiesta
Comunque, hai la base e l'area, e dunque l'altezza.
Si anch'io sono giunto alla conclusione che sono piu di due triangoli, e questo mi confonde =|
Magari chiedeva quelli isosceli..in ogni caso sai trovarli tutti?
Non sono infiniti i triangoli? Perchè il terzo vertice C è un punto qualsiasi delle due rette parallele a quella passante per A e B e distanti da quest'ultima $h=sqrt5$..no? 
"pic":
Magari chiedeva quelli isosceli..in ogni caso sai trovarli tutti?
Ma non lo so, il testo è quello che ho scritto...io ho pensato di utilizzare la formula per l'area $S=1/2|det((x_2,y_2,1),(x_1,y_1,1),(x_0,y_0,1))|$ ma non giungo a nulla di concreto
be in quel caso puoi trovare le coordinate del vertice...ma quella vale solo per i triangoli isosceli o per tutti??
Cmq se puoi usare quella formula allora basta metterla a sistema con la distanza del vertice dalla retta $AB$ che è uguale ad $h$ così hai due condizioni per trovare le due coordinate...
Cmq se puoi usare quella formula allora basta metterla a sistema con la distanza del vertice dalla retta $AB$ che è uguale ad $h$ così hai due condizioni per trovare le due coordinate...
"orphen86":
[quote="pic"]Magari chiedeva quelli isosceli..in ogni caso sai trovarli tutti?
Ma non lo so, il testo è quello che ho scritto...io ho pensato di utilizzare la formula per l'area $S=1/2|det((x_2,y_2,1),(x_1,y_1,1),(x_0,y_0,1))|$ ma non giungo a nulla di concreto[/quote]
Prova a sostituire le coordinate dei due punti che sono assegnati.
In questo modo trovi le equazioni delle due rette.
Io ho fatto così.Trovata l'equazione della retta passante per $A$ e $B$ che in forma implicita è $1/2x+y-1/2=0$ (se non ci sono errori di calcolo..cosa molto probabile) ho calcolato la distanza della retta dal vertice $V(x_v;y_v)$ che ho eguagliato alla all'altezza.Da qui ho messo ha sistema la distanza trovata insieme al formula per calcolare l'area di un triangolo $S=1/2(det((5,-2,1),(1,0,1),(x_v,y_v,1)))=5$.Effettivamente vengono due vertici di due triangoli differenti..ma non
so se può andare...
so se può andare...
"Giulio89":
Io ho fatto così.Trovata l'equazione della retta passante per $A$ e $B$ che in forma implicita è $1/2x+y-1/2=0$ (se non ci sono errori di calcolo..cosa molto probabile) ho calcolato la distanza della retta dal vertice $V(x_v;y_v)$ che ho eguagliato alla all'altezza.Da qui ho messo ha sistema la distanza trovata insieme al formula per calcolare l'area di un triangolo $S=1/2(det((5,-2,1),(1,0,1),(x_v,y_v,1)))=5$.Effettivamente vengono due vertici di due triangoli differenti..ma non
so se può andare...
Devi mettere il valore assoluto.
Non serve calcolare l'equazione della retta per $A$ e $B$ se usi la formula con il determinante.
Se fai i conti trovi (con $x$ e $y$ indico le coordinate del terzo vertice del triangolo):
$1/2 \cdot | det ((1,0,1),(5,-2,1),(x,y,1)) | = 5$
$| (-2-y) + (5y+2x) | = 10$
$| 2x + 4y - 2| = 10$
Le equazioni delle due rette sono:
$2x + 4y = 12$ ovvero $x + 2y - 6 = 0$
e
$2x + 4y = -8$ ovvero $x + 2y + 4 = 0$
$1/2 \cdot | det ((1,0,1),(5,-2,1),(x,y,1)) | = 5$
$| (-2-y) + (5y+2x) | = 10$
$| 2x + 4y - 2| = 10$
Le equazioni delle due rette sono:
$2x + 4y = 12$ ovvero $x + 2y - 6 = 0$
e
$2x + 4y = -8$ ovvero $x + 2y + 4 = 0$
"franced":
Le equazioni delle due rette sono:
$2x + 4y = 12$ ovvero $x + 2y - 6 = 0$
e
$2x + 4y = -8$ ovvero $x + 2y + 4 = 0$
Se a questo punto vogliamo i due triangoli isosceli basta intersecare ciascuna retta con l'asse
del segmento avente per estremi $A$ e $B$.
Faccio notare che la distanza di ciascuna delle due rette dai punti $A$ e $B$ è $\sqrt(5)$,
come fatto notare in precedenza.
effettivamente io avevo trovato una sola retta parallela ad $AB$, mi ero dimenticato di considerare il valore assoluto che ovviamente mi rende due rette differenti, poi dovrebbe bastarmi mettere a sistema prima l'una e poi l'altra con la retta ortogonale ad $AB$ e passante per il suo punto medio, da qui trovo i due vertici.
Questo è il ragionamento che avevo fatto considerando triangoli isosceli, il mio dubbio principale era dato dal tipo di triangolo da considerare, da qui sorge una domanda, se si parla di base e vertice di triangolo si intende sempre triangolo isoscele?
Questo è il ragionamento che avevo fatto considerando triangoli isosceli, il mio dubbio principale era dato dal tipo di triangolo da considerare, da qui sorge una domanda, se si parla di base e vertice di triangolo si intende sempre triangolo isoscele?
Scusate la domanda..ma che formula è quella col determinante?E dove la posso trovare per studiarla? Mi sa che mi mancano le conoscenze..io l'avevo risolto con un procedimento forse troppo lungo..Con l'area e la misura di AB ho trovato l'altezza cioè $sqrt5$. Ho calcolato la pendenza di AB e le due rette cercate avranno equazione $y=-1/2x + q$. Dalla pendenza di AB ho ricavato quella di AC cioè 2; considerando il triangolo rettangolo ACD (C è il terzo vertice di coordinate $(x,y)$ e D la sua proiezione sull'asse delle ascisse) faccio sistema tra $(x-1)^2+y^2=5$ e $y/(x-1)=2$. Ottengo le coordinate di due punti appartenenti uno all'una, uno all'altra retta; le sostituisco nell'equazione per trovare q..e appunto poi ottengo $r: y=-1/2x-2$ e $s:y=-1/2x+3$ però è lungo.. grazie
"Frances_a":
Scusate la domanda..ma che formula è quella col determinante?E dove la posso trovare per studiarla? Mi sa che mi mancano le conoscenze..io l'avevo risolto con un procedimento forse troppo lungo...
Tranquilla, non è niente di particolare.
Personalmente non la uso mai, ma visto che era stata scritta da altri ho svolto l'esercizio con quella..
"Frances_a":
Scusate la domanda..ma che formula è quella col determinante?E dove la posso trovare per studiarla? Mi sa che mi mancano le conoscenze..io l'avevo risolto con un procedimento forse troppo lungo..Con l'area e la misura di AB ho trovato l'altezza cioè $sqrt5$. Ho calcolato la pendenza di AB e le due rette cercate avranno equazione $y=-1/2x + q$. Dalla pendenza di AB ho ricavato quella di AC cioè 2; considerando il triangolo rettangolo ACD (C è il terzo vertice di coordinate $(x,y)$ e D la sua proiezione sull'asse delle ascisse) faccio sistema tra $(x-1)^2+y^2=5$ e $y/(x-1)=2$. Ottengo le coordinate di due punti appartenenti uno all'una, uno all'altra retta; le sostituisco nell'equazione per trovare q..e appunto poi ottengo $r: y=-1/2x-2$ e $s:y=-1/2x+3$ però è lungo.. grazie
Comunque, visto che tu hai osservato (giustamente) che la distanza delle due rette dai due punti
deve essere uguale a $\sqrt(5)$, e visto che le due rette sono parallele alla retta $x+2y+k=0$,
è possibile imporre che la distanza di $A$ (visto che ha coordinate più semplici..) dalla generica
retta $x+2y+k=0$ sia proprio $sqrt(5)$:
$(| 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + k|)/(sqrt(1^2+2^2)) = sqrt(5)$
ovvero
$(|1 + k|)/(sqrt(5)) = sqrt(5)$
da cui $|1 + k| = 5$
con soluzioni
$k_1 = 4$
$k_2 = -6$
Tranquilla, non è niente di particolare.
Meno male..mi preoccupavo!
Giusto potevo usare la formula della distanza ed era già finito il problema..mi era momentaneamente sfuggita! Grazie!
Pensa che l'equazione della circonferenza passante per 3 punti
si può scrivere anche in questo modo:
$det((1,x_A,y_A,x_A^2+y_A^2),(,,,),(1,x_B,y_B,x_B^2+y_B^2),(,,,),(1,x_C,y_C,x_C^2+y_C^2),(,,,),(1,x,y,x^2+y^2)) = 0$
si può scrivere anche in questo modo:
$det((1,x_A,y_A,x_A^2+y_A^2),(,,,),(1,x_B,y_B,x_B^2+y_B^2),(,,,),(1,x_C,y_C,x_C^2+y_C^2),(,,,),(1,x,y,x^2+y^2)) = 0$
uff non lo so risolvere..ma dovrei studiarmi qualcosa a proposito? 
"Frances_a":
:shock: uff non lo so risolvere..ma dovrei studiarmi qualcosa a proposito?
Sviluppa il determinante lungo l'ultima riga e trovi l'equazione della circonferenza.
Ho messo la formula così per curiosità, non la uso MAI.
Ma come lo sviluppo il determinante? Perchè noi abbiamo fatto solo matrici 2x2..grazie e scusi se le faccio perdere tempo
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