Problema endomorfismo
salve ragazzi, sono nuovo del forum, ma vedendo alcuni thread ho notato e sperato che qualcuno mi potesse aiutare. il mio problema è sulla modalità di esercizio dell'endomorfismo, vi prego gentilmente di aiutarmi, vi posto un esercizio, ad esempio, che non riesco a fare:
F R^3->R^3
f(x,y,z) = (2x+2y+2z , 2x+2y+2z , 2x+2y+2z)
- trovare Kerf, Imf , base del Ker e dell'Im e le loro dimensioni
- trovare gli autovalori e autovettori
-dire se è diagonalizzabile e perchè?, e se si trovare la matrice diagonale.
spero che mi aiuti qualcuno, sono in alto mare e non sò più dove andare a cercare qualcosa per capire, vi ringrazio in anticipo e aspetto vostre risposte il prima possibile.
[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]
F R^3->R^3
f(x,y,z) = (2x+2y+2z , 2x+2y+2z , 2x+2y+2z)
- trovare Kerf, Imf , base del Ker e dell'Im e le loro dimensioni
- trovare gli autovalori e autovettori
-dire se è diagonalizzabile e perchè?, e se si trovare la matrice diagonale.
spero che mi aiuti qualcuno, sono in alto mare e non sò più dove andare a cercare qualcosa per capire, vi ringrazio in anticipo e aspetto vostre risposte il prima possibile.
[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]
Risposte
per trovare kerf basta che rendi omogeneo il sistema composto dalle equazioni dell'endomorfismo e risolvi il sistema (così facendo ti troverai le coordinate, le quali se lavori in base canonica sono anche le componenti dei vettori del codominio che mandano l'applicazione nel vettore nullo)...per trovare l'imf ti serve la matrice dell'endomorfismo associata a due basi di R^3 per esempio puoi scegliere quella canonica e trovarti la matrice
A= $((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2))$
fai il rg di questa matrice e scopri che ha rango 1 quindi un vettore di questi tre (leggili x colonna mi raccomando) è indipendente. L'imF avrà quindi dim1 . Usa poi il teorema della nullità più rango per trovarti la dimensione del Kerf
Per trovare gli autovalori dovrai utilizzare questa formula;
det(A-$\lambda$I)=0
dove A è la matrice di prima e I è la matrice identità moltiplicata per lo scalare $\lambda$ (o se preferisci -$\lambda$)
det $((2-λ,2,2),(2,2-λ,2),(2,2,2-λ))$ = 0
sviluppa il determinante e trovati le soluzioni di λ. Se sono tutte soluzioni reali allora la matrice è diagonalizzabile.
A= $((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2))$
fai il rg di questa matrice e scopri che ha rango 1 quindi un vettore di questi tre (leggili x colonna mi raccomando) è indipendente. L'imF avrà quindi dim1 . Usa poi il teorema della nullità più rango per trovarti la dimensione del Kerf
Per trovare gli autovalori dovrai utilizzare questa formula;
det(A-$\lambda$I)=0
dove A è la matrice di prima e I è la matrice identità moltiplicata per lo scalare $\lambda$ (o se preferisci -$\lambda$)
det $((2-λ,2,2),(2,2-λ,2),(2,2,2-λ))$ = 0
sviluppa il determinante e trovati le soluzioni di λ. Se sono tutte soluzioni reali allora la matrice è diagonalizzabile.
ok grazie, puoi vedermi se come faccio è giusto? riscrivo il tutto:
f(x,y,z) ( 2x+2y+2z , 2x+2y+2z , 2x+2y+2z )
$((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2))$ --> $((2,2,2),(0,0,0),(0,0,0))$ questo perchè i tre vettori sono linearmente dipendenti e perciò ne consideto solo uno
r(A)= 1 e di conseguenza la dim Imf =1
poichè $R^3$= dim Imf + dim Kerf --> dim Kerf= $R^3$ - dim Imf --> dim Kerf = 2
ora a quanto mi hai detto il Kerf è uguale alla soluzione del sistema = 2x+2y+2z=0 --> x+y+z=0 --> x= -y-z
le soluzioni sono ( -y-z , y , z) + (-z , 0 , z) --> le basi del Kerf sono: k(-1 , 1 , 0) + t (-1 , 0 , 1)
l' Imf= [ k ( 2 , 2 , 2)] e la base Imf= (2 , 2 , 2) ? (è tutto giusto)?
ora per trovare gli autovalori e autovettori:
uso det (A-λI)=0
det= $((2-lambda,2,2),(2,2-lambda,2),(2,2,2-lambda))$ = (2-λ)$ (2-λ)^3$ --> λ=2
per λ=2 ho che
$\{((2y+2z=0),(2x+2z=0),(2x+2y=0)):}$ --> dal sistema si ha che $\{((z=-y),(x=-z),(x=-y)):}$ se pongo z=-k ho che: (k , k , k) --> k ( 1 , 1 , 1)
per λ=2 i due autovalori sono l.d. e la matrice perciò non è diagonalizzabile
è tutto giusto??
f(x,y,z) ( 2x+2y+2z , 2x+2y+2z , 2x+2y+2z )
$((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2))$ --> $((2,2,2),(0,0,0),(0,0,0))$ questo perchè i tre vettori sono linearmente dipendenti e perciò ne consideto solo uno
r(A)= 1 e di conseguenza la dim Imf =1
poichè $R^3$= dim Imf + dim Kerf --> dim Kerf= $R^3$ - dim Imf --> dim Kerf = 2
ora a quanto mi hai detto il Kerf è uguale alla soluzione del sistema = 2x+2y+2z=0 --> x+y+z=0 --> x= -y-z
le soluzioni sono ( -y-z , y , z) + (-z , 0 , z) --> le basi del Kerf sono: k(-1 , 1 , 0) + t (-1 , 0 , 1)
l' Imf= [ k ( 2 , 2 , 2)] e la base Imf= (2 , 2 , 2) ? (è tutto giusto)?
ora per trovare gli autovalori e autovettori:
uso det (A-λI)=0
det= $((2-lambda,2,2),(2,2-lambda,2),(2,2,2-lambda))$ = (2-λ)$ (2-λ)^3$ --> λ=2
per λ=2 ho che
$\{((2y+2z=0),(2x+2z=0),(2x+2y=0)):}$ --> dal sistema si ha che $\{((z=-y),(x=-z),(x=-y)):}$ se pongo z=-k ho che: (k , k , k) --> k ( 1 , 1 , 1)
per λ=2 i due autovalori sono l.d. e la matrice perciò non è diagonalizzabile
è tutto giusto??
non si capisce molto da come è formattato il testo però l'imf ed il kerf mi sembravano giusti!! ora cerco di decifrare il resto!!!
si scusa ma non sò scriverlo come fai tu
"SRV":
https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html
spero che cosi vada meglio...ti prego dimmi se è realmente tutto giusto, anche un piccolo errore potrebbe portarmi alla comprensione sbagliata della modalità d'esercizio
...sono dubbioso sul fatto che il Kerf , le basi di Kerf, e la base dell' Imf siano giusti....aspetto tue notizie. GRAZIE!
ok la base dell'imf è giusta ma ricordati questo che è importante...Quelle che tu leggi nelle matrice facendo il rango sono le coordinate del vettore che nel caso della base canonica sono anche le componenti del vettore...idem per il kerf...è giusto!!! Però ricordati sempre il discorso sulle coordinate...Ogni vettore in base canonica ha coordinate che coincidono proprio con il vettore (es: (1,1,1) ha coordinate (1,1,1).
se tu metti caso avessi un vettore e vuoi leggere tale vettore in una determinata base devi fare una combinazione lineare dei vettori della base con coefficenti incogniti es:
il vettore (1,1,1) ha coordinate a,b,c nella base (1,0,0) (1,0,1) (1,2,1)...Ovviamente devi risolvere il sistema...
$((1,1,1))$=a$(1,0,0)$+b$(1,0,1)$+c$(1,2,1)$
con il kerf e imf è la stessa cosa...ogni volta ti devi chiedere se stai ragionando in coordinate o in componenti di vettori
questa è la principale difficoltà delle applicazioni lineari.. per quanto riguarda la diagonalizzazione devo ancora controllarla abbi un pò di pazienza e lo farò...sappi comunque che sn disponibile per qualsiasi dubbio!!!
se tu metti caso avessi un vettore e vuoi leggere tale vettore in una determinata base devi fare una combinazione lineare dei vettori della base con coefficenti incogniti es:
il vettore (1,1,1) ha coordinate a,b,c nella base (1,0,0) (1,0,1) (1,2,1)...Ovviamente devi risolvere il sistema...
$((1,1,1))$=a$(1,0,0)$+b$(1,0,1)$+c$(1,2,1)$
con il kerf e imf è la stessa cosa...ogni volta ti devi chiedere se stai ragionando in coordinate o in componenti di vettori
questa è la principale difficoltà delle applicazioni lineari.. per quanto riguarda la diagonalizzazione devo ancora controllarla abbi un pò di pazienza e lo farò...sappi comunque che sn disponibile per qualsiasi dubbio!!!
scusami, quindi va bene che il Kerf= ( -y-z , y , z) + (-z , 0 , z) e le basi del Kerf = k(-1 , 1 , 0) + t (-1 , 0 , 1) ?? mi stava venendo il dubbio che quelle che dico sono basi invece sia la risoluzione del Kerf e che le basi siano tutt'altro che non ho capito... un altra cosa..se Imf= [ k ( 2 , 2 , 2)] ,a base di Imf è= (2,2,2) oppure (2,0,0)?? cioè faccio riferimento ai vettori indipendenti della matrice incompleta, oppure mi riferisco ai vettori della matrice risolutiva del sistema? (spero ti mi abbia capito) riguardo all esempio che mihai fatto, trovo qualche difficoltà a capirlo, ma ci stò lavorando 
ti ringrazio per la preziosa disponibilità!
ti ringrazio per la preziosa disponibilità!
Parliamo del kerf prima;la tua generica soluzione del sistema crea un sottospazio di vettori (-k,k,0) e (-t,0,t) (cioè in poche parole ce li hai tutti); per avere una base di questo sottospazio te ne servono solo 2 (dato che la soluzione è infinito a due) ed è per questo che porti fuori il k ed il t. (A questo punto basta che calcoli il rango di questi due vettori per vedere se sono indipendenti e quindi se formano una base). (Ripeto adesso tu ragioni in base canonica e quindi le coordinate che sono la soluzione del tuo sistema sono proprio le componenti del vettore!!!) quindi come hai scritto tu è giusto andrebbe semplicemente completato scrivendo:
kerf= L[(-1,1,0),(-1,0,1)] (cioè in parole il kerf è l'insieme dei vettori del codominio che sono combinazione della base (-1,1,0),(-1,0,1) e che hanno immagine nulla)
Una base è un insieme massimale di vettori indipendenti e generatori (la base diciamo è il tuo punto di riferimento che ti permette di conoscere tutto lo spazio conoscendo soltanto un numero finito di vettori!!!)
Idem x l'imf è giustissimo
kerf= L[(-1,1,0),(-1,0,1)] (cioè in parole il kerf è l'insieme dei vettori del codominio che sono combinazione della base (-1,1,0),(-1,0,1) e che hanno immagine nulla)
Una base è un insieme massimale di vettori indipendenti e generatori (la base diciamo è il tuo punto di riferimento che ti permette di conoscere tutto lo spazio conoscendo soltanto un numero finito di vettori!!!)
Idem x l'imf è giustissimo
bene SRV grazie mille.....senti per togliermi ogni dubbio, ti riporto un altro esercizio sempre sull'endomorfismo, con le stesse richieste del precedente
f: $R^3$-->$R^3$
$\{(x^1=3x+2y),(y^1=-x),(z^1=z):}$
la sua matrice é: $((3,2,0),(-1,0,0),(0,0,1))$ e il suo det $!=$0 quindi r(A)=3 --> dim Imf=3
di conseguenza per il teorema della nullita del rango: dim Kerf= $R^3$ - dim Imf --> dim Kerf= 0
la soluzione del sistema è data da: $\{(2y=0),(-x=0),(z=0):}$
quindi
$\{(y=0),(x=0),(z=0):}$
perciò il kerf= (0,0,0)
l' Imf : $\{(3,-1,0) (2,0,0)(0,0,1)}$ che dovrebbe coincidere con la base di Imf giusto?
f: $R^3$-->$R^3$
$\{(x^1=3x+2y),(y^1=-x),(z^1=z):}$
la sua matrice é: $((3,2,0),(-1,0,0),(0,0,1))$ e il suo det $!=$0 quindi r(A)=3 --> dim Imf=3
di conseguenza per il teorema della nullita del rango: dim Kerf= $R^3$ - dim Imf --> dim Kerf= 0
la soluzione del sistema è data da: $\{(2y=0),(-x=0),(z=0):}$
quindi
$\{(y=0),(x=0),(z=0):}$
perciò il kerf= (0,0,0)
l' Imf : $\{(3,-1,0) (2,0,0)(0,0,1)}$ che dovrebbe coincidere con la base di Imf giusto?
esatto!!! solo a patto che tu stia lavorando in base canonica!!!!
Poi la sai le condizioni affichè l'applicazione sia iniettiva e suriettiva?
Poi la sai le condizioni affichè l'applicazione sia iniettiva e suriettiva?
"SRV":
esatto!!! solo a patto che tu stia lavorando in base canonica!!!!
Poi la sai le condizioni affichè l'applicazione sia iniettiva e suriettiva?
si si iniettività e surriettività è ok, anche se non mi si chiede nelle richieste..scusami srv...ma io ho quel testo dell'esercizio e quello è come lo svolgo, quando dici che è esatto solo se stò lavorando in base canonica...mi smonti un pò, perchè non arrivo a capire cosa dici..
allora ora ti spiego bene...prendiamo un qualsiasi spazio vettoriale V sia B una base di questo spazio ($v_1$,.....$v_n$) allora per definizione di base i vettori dello spazio si scriveranno come combinazione lineare di questa base esempio
un generico vettore v=$a_1$$v_1$+......+$a_n$$v_n$
fin qua ok?
($a_1$,.....,$a_n$) sono le coordinate del vettore v nella base B e sono uniche. Cioè a quella base B sono associate univocamente quelle coordinate.
tornando a nostri omomorfismi: tu facendo quegli ex studi il comportamento di una operazione F tra due spazi.
Per semplificare questo "studio" si considera una base del codominio ed una base del dominio. E la famosa matrice A dell'omomorfismo è per definizione la matrice che ha per colonne le coordinate dei trasformati dei vettori di una base del codominio letti in una base del dominio appunto.
So che è molto difficile ed astratto da comprendere ma prova ad immaginarti due spazi ed ognuno di questi che ha un piccolo sottospazietto interno (cioè contenente appunto i vettori della base). Allora cosa succede tu vivi nella base del codominio e "spari" una funzione/freccia che ti faccia arrivare i vettori della base del codominio dove tu vivi, nel dominio. Ma siccome tu vivi nella base codominio a te serve appunto un sistema di riferimento x poter capire dove hai "sparato" quei vettori (per questo si considera una base del dominio). Sapendo le coordinate dei vettori nel dominio che hai "sparato" conosci il comportamento della funzione.
un generico vettore v=$a_1$$v_1$+......+$a_n$$v_n$
fin qua ok?
($a_1$,.....,$a_n$) sono le coordinate del vettore v nella base B e sono uniche. Cioè a quella base B sono associate univocamente quelle coordinate.
tornando a nostri omomorfismi: tu facendo quegli ex studi il comportamento di una operazione F tra due spazi.
Per semplificare questo "studio" si considera una base del codominio ed una base del dominio. E la famosa matrice A dell'omomorfismo è per definizione la matrice che ha per colonne le coordinate dei trasformati dei vettori di una base del codominio letti in una base del dominio appunto.
So che è molto difficile ed astratto da comprendere ma prova ad immaginarti due spazi ed ognuno di questi che ha un piccolo sottospazietto interno (cioè contenente appunto i vettori della base). Allora cosa succede tu vivi nella base del codominio e "spari" una funzione/freccia che ti faccia arrivare i vettori della base del codominio dove tu vivi, nel dominio. Ma siccome tu vivi nella base codominio a te serve appunto un sistema di riferimento x poter capire dove hai "sparato" quei vettori (per questo si considera una base del dominio). Sapendo le coordinate dei vettori nel dominio che hai "sparato" conosci il comportamento della funzione.
"SRV":
allora ora ti spiego bene...prendiamo un qualsiasi spazio vettoriale V sia B una base di questo spazio ($v_1$,.....$v_n$) allora per definizione di base i vettori dello spazio si scriveranno come combinazione lineare di questa base esempio
un generico vettore v=$a_1$$v_1$+......+$a_n$$v_n$
fin qua ok?
si ho capito...ma questo mica vuol dire che forse sbaglio? cioè se ometto questo ragionamento e lo svolgo nel modo in cui li ho svolti..sbaglio??
non sbagli però capita certe volte nei testi di esame come è capitato a me, che ti viene chiesto di leggere quei vettori non nella base canonica ma in una base data
"SRV":
non sbagli però capita certe volte nei testi di esame come è capitato a me, che ti viene chiesto di leggere quei vettori non nella base canonica ma in una base data
ok in caso mi dovesse uscire in base data, mi rifaccio a quando hai detto tu prima...senti, ma poi hai visto se gli autovalori, autospazi e se è diagonalizzabile la matrice del primo esercizio che ti ho postato è corretto?
un ultimissima cosa svr (sappi che se passo l'esame di geometria ovunque tu ti trovi avrai pagata una cena
) nel caso continuassi a fare degli esercizi potrei postarli per avere una tua visione? tipo già ora ne stò facendo uno ma non mi dà molta sicurezza...
si certo...fai ingegneria?
"SRV":si
si certo...fai ingegneria?
pure io...elettronica per quanto riguarda autovalori controlla meglio il determinante non può venirti una equazione di 4 grado!! max 3!!
endomorfismo f: $R^3$ --> $R^3$
-trovare Kerf, Imf, una base di Kerf e Imf e le loro dimensioni
-trovare autovalori e autovettori
-dire se f è diagonalizzabile, giustificando la risposta. in caso positivo trovare una matrice diagonale associata ad f.
$\{(x^1= x+3z),(y^1=3x+y+3z),(z'=2x+y):}$
la sua matrice è data da: $((1,0,3),(3,1,3),(2,1,0))$
se sommo la prima riga con la terza ottengo la seconda, quindi la seconda è l.d. dalle altre due, la nuova matrice ridotta sarà:
$((1,0,3),(2,1,0))$ con r(A)= 2 --> dim Imf=2 e il Kerf =1
ora svolgo il sistema:
$\{(x+3z=0),(3x+y+3z=0),(2x+y=0):}$ e ho che $\{(x=-3z),(-9z+y+3z=0),(0=0):}$ quindi ha soluzione (-3z,6z,0) che sarebbe il Kerf no?
se pongo z=k ho k (-3,6,0) base del kerf
Imf= {(1,0,3),(2,1,0)} e una base di Imf è (1,0,3) allora ho molti dubbi sulla giusta soluzione di questo esercizio...per quanto riguarda la base di imf questa corrisponde sempre alle soluzioni dell'Imf? non ho capito benissimo questo punto!
-trovare Kerf, Imf, una base di Kerf e Imf e le loro dimensioni
-trovare autovalori e autovettori
-dire se f è diagonalizzabile, giustificando la risposta. in caso positivo trovare una matrice diagonale associata ad f.
$\{(x^1= x+3z),(y^1=3x+y+3z),(z'=2x+y):}$
la sua matrice è data da: $((1,0,3),(3,1,3),(2,1,0))$
se sommo la prima riga con la terza ottengo la seconda, quindi la seconda è l.d. dalle altre due, la nuova matrice ridotta sarà:
$((1,0,3),(2,1,0))$ con r(A)= 2 --> dim Imf=2 e il Kerf =1
ora svolgo il sistema:
$\{(x+3z=0),(3x+y+3z=0),(2x+y=0):}$ e ho che $\{(x=-3z),(-9z+y+3z=0),(0=0):}$ quindi ha soluzione (-3z,6z,0) che sarebbe il Kerf no?
se pongo z=k ho k (-3,6,0) base del kerf
Imf= {(1,0,3),(2,1,0)} e una base di Imf è (1,0,3) allora ho molti dubbi sulla giusta soluzione di questo esercizio...per quanto riguarda la base di imf questa corrisponde sempre alle soluzioni dell'Imf? non ho capito benissimo questo punto!
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