Problema endomorfismo

[melki1]

salve ragazzi, sono nuovo del forum, ma vedendo alcuni thread ho notato e sperato che qualcuno mi potesse aiutare. il mio problema è sulla modalità di esercizio dell'endomorfismo, vi prego gentilmente di aiutarmi, vi posto un esercizio, ad esempio, che non riesco a fare:
F R^3->R^3

f(x,y,z) = (2x+2y+2z , 2x+2y+2z , 2x+2y+2z)
- trovare Kerf, Imf , base del Ker e dell'Im e le loro dimensioni
- trovare gli autovalori e autovettori
-dire se è diagonalizzabile e perchè?, e se si trovare la matrice diagonale.

spero che mi aiuti qualcuno, sono in alto mare e non sò più dove andare a cercare qualcosa per capire, vi ringrazio in anticipo e aspetto vostre risposte il prima possibile.

[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]

[SRV1]

si è giusta...ma nn coincide sempre con le soluzioni dell'imf xkè se quei vettori della base dell'im sn letti in una base diversa dalla canonica allora cambiano ma se lavori sempre in base canonica allora le basi dell'imf saranno sempre cosìì!

[melki1]

"SRV":pure io...elettronica per quanto riguarda autovalori controlla meglio il determinante non può venirti una equazione di 4 grado!! max 3!!

scusa se sbaglio...ma io faccio cosi:



$((2-\lambda,2,2),(2,2-\lambda,2),(2,2,2-\lambda))$

=8+(2-$\lambda$)^3+8-4(2-$\lambda$)-4(2-$\lambda$)-4(2-$\lambda$)= (2-$\lambda$)^3+3$\lambda$-8

considero solo (2-$\lambda$)^3 che sarebbe uguale a $\lambda$=2

[melki1]

"SRV":si è giusta...ma nn coincide sempre con le soluzioni dell'imf xkè se quei vettori della base dell'im sn letti in una base diversa dalla canonica allora cambiano ma se lavori sempre in base canonica allora le basi dell'imf saranno sempre cosìì!

anche il resto è giusto? la risoluzione del sistema...il Kerf la base ecc.?? scusa se sono assillante ma ho bisogno di sicurezza e di chiarezza nelle cose dove sbaglio,

un altra cosa...nell'ultimo esercizio che ti ho scritto...la base di Imf è solo (1,0,3) o posso scrivere che è: (1,0,3) (2,1,0) ? dovrebbe essere la seconda, poichè coincidono...mi stà esplodendo il cervello!!!

[SRV1]

si sviluppa per la prima riga ad esempio

(2-λ)[(4-$λ^2$)-4] -2[(4-2λ)-4]+2[(4-(4-2λ)]

[melki1]

"SRV":si sviluppa per la prima riga ad esempio

(2-λ)[(4-$λ^2$)-4] -2[(4-2λ)-4]+2[(4-(4-2λ)]

ok...si ho capito come fai tu...però esce uguale no? quindi è ok!

[melki1]

"melki":endomorfismo f: $R^3$ --> $R^3$

-trovare Kerf, Imf, una base di Kerf e Imf e le loro dimensioni
-trovare autovalori e autovettori
-dire se f è diagonalizzabile, giustificando la risposta. in caso positivo trovare una matrice diagonale associata ad f.

$\{(x^1= x+3z),(y^1=3x+y+3z),(z'=2x+y):}$

la sua matrice è data da: $((1,0,3),(3,1,3),(2,1,0))$

se sommo la prima riga con la terza ottengo la seconda, quindi la seconda è l.d. dalle altre due, la nuova matrice ridotta sarà:
$((1,0,3),(2,1,0))$ con r(A)= 2 --> dim Imf=2 e il Kerf =1

ora svolgo il sistema:

$\{(x+3z=0),(3x+y+3z=0),(2x+y=0):}$ e ho che $\{(x=-3z),(-9z+y+3z=0),(0=0):}$ quindi ha soluzione (-3z,6z,0) che sarebbe il Kerf no?


p.s. è corretto tutto??
se pongo z=k ho k (-3,6,0) base del kerf
Imf= {(1,0,3),(2,1,0)} e una base di Imf è (1,0,3) allora ho molti dubbi sulla giusta soluzione di questo esercizio...per quanto riguarda la base di imf questa corrisponde sempre alle soluzioni dell'Imf? non ho capito benissimo questo punto!