Problema dimensione Ker f
Ciao a tutti!! Ho un problema su questo esercizio:
"Siano A=$((1,2,3,4),(4,4,4,4),(1,2,2,1))$ e B=$((2,3,5),(3,3,4),(4,3,3),(5,3,2))$ e sia f$in$L(K(3),K(4)) definita da f(x)=BXA.
Determinare la dimensione su K di Ker f."
Avevo iniziato la risoluzione dell'esercizio ponendo X=$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ e iniziando a svolgere le moltiplicazioni BX e poi successivamente BXA. A quel punto avevo intenzione di porre i coefficienti della matrice ottenuta BXA uguali a zero e valutare così il numero di coefficienti da determinare per definire l'intera X. Purtroppo questo procedimento si rivela estremamente lungo e pieno di calcoli. Avete qualche idea? Spero di essermi spiegato...
"Siano A=$((1,2,3,4),(4,4,4,4),(1,2,2,1))$ e B=$((2,3,5),(3,3,4),(4,3,3),(5,3,2))$ e sia f$in$L(K(3),K(4)) definita da f(x)=BXA.
Determinare la dimensione su K di Ker f."
Avevo iniziato la risoluzione dell'esercizio ponendo X=$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ e iniziando a svolgere le moltiplicazioni BX e poi successivamente BXA. A quel punto avevo intenzione di porre i coefficienti della matrice ottenuta BXA uguali a zero e valutare così il numero di coefficienti da determinare per definire l'intera X. Purtroppo questo procedimento si rivela estremamente lungo e pieno di calcoli. Avete qualche idea? Spero di essermi spiegato...
Risposte
Ti propongo una soluzione, ma non è detto che sia giusta cmq... Indichiamo con $ A^t $ e $ B^t $ le matrici trasposte rispettivamente di A e B e con $ 0 $ la matrice nulla 4x4, tu devi imporre la condizione $ BXA=0 $ da cui segue $ B^tBXA A^t=B^t0A^t=0 $ dove 0 è diventata la matrice nulla 3x3, adesso notando che $ B^tB $ e $A A^t $ sono matrici quadrate che come puoi facilmente verificare sono invertibili allora $ (B^tB)^{-1}(B^tB)X(A A^t)(A A^t)^{-1} =(B^tB)^{-1}0(A A^t)^{-1}=0 $ ovvero $ X=0 $ segue quindi che $ kerf={0} $ e l'applicazione è iniettiva.
Come procedimento mi può anche tornare il problema è che $B^t$$B$ ha determinante uguale a zero è quindi non è invertibile...
E infatti... solo che io pigro l'avevo calcolato col computer e mi veniva (sbagliando) diverso da 0. 
Peccato perchè mi sembrava una bella soluzione xD
Peccato perchè mi sembrava una bella soluzione xD
Allora ho provato a risolvere l'esercizio prendendo spunto dal tuo procedimento:
- per prima cosa ho imposto BXA=0, che ho riscritto come $B^t$$B$$X$$A$$A^t$ = $B^t$$0$$A^t$ = 0
- poichè $A$$A^t$ è invertibile ho moltiplicato entrambi i membri per ($A$$A^t$)^(-1) ottenendo
$B^t$$B$$X$ = 0 ovvero:
$((54,42,44),(42,36,42),(44,42,54))$$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ = $((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
che equivale a risolvere i tre sistemi:
$\{(54a + 42d + 44g = 0),(42a + 36d + 42g = 0),(44a + 42d + 54g = 0):}$
$\{(54b + 42e + 44h = 0),(42b + 36e + 42h = 0),(44b + 42e + 54h = 0):}$
$\{(54c + 42f + 44i = 0),(42c + 36f + 42i = 0),(44c + 42f + 54i = 0):}$
La soluzione dei tre sistemi si ha soltanto se tutti i valori della matrice X sono uguali a zero e quindi Ker f = {0}.
Ho un dubbio però sul passaggio in cui ho moltiplicato entrambi i membri per ($A$$A^t$)^(-1) ottenendo
$B^t$$B$$X$ = 0.
E' ammissibile questa operazione?
- per prima cosa ho imposto BXA=0, che ho riscritto come $B^t$$B$$X$$A$$A^t$ = $B^t$$0$$A^t$ = 0
- poichè $A$$A^t$ è invertibile ho moltiplicato entrambi i membri per ($A$$A^t$)^(-1) ottenendo
$B^t$$B$$X$ = 0 ovvero:
$((54,42,44),(42,36,42),(44,42,54))$$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ = $((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
che equivale a risolvere i tre sistemi:
$\{(54a + 42d + 44g = 0),(42a + 36d + 42g = 0),(44a + 42d + 54g = 0):}$
$\{(54b + 42e + 44h = 0),(42b + 36e + 42h = 0),(44b + 42e + 54h = 0):}$
$\{(54c + 42f + 44i = 0),(42c + 36f + 42i = 0),(44c + 42f + 54i = 0):}$
La soluzione dei tre sistemi si ha soltanto se tutti i valori della matrice X sono uguali a zero e quindi Ker f = {0}.
Ho un dubbio però sul passaggio in cui ho moltiplicato entrambi i membri per ($A$$A^t$)^(-1) ottenendo
$B^t$$B$$X$ = 0.
E' ammissibile questa operazione?
E' ammissibile questa operazione?
si
La soluzione dei tre sistemi si ha soltanto se tutti i valori della matrice X sono uguali a zero
Non è vero perche la matrice $ B^tB $ ha rango 2 e quindi ognuno dei tre sistemi ha infinite soluzioni che dipendono da un parametro, insomma gli spazi delle soluzioni dei tre sistemi hanno dimensione 1 ... e quindi magari se trovi un generatore di ogni spazio li puoi usare come righe per costruire una matrice 3x3 ... oppure no boh... ci devo pensare meglio...
Ok ci ho pensato e ho fatto due calcoli (spero giusti xD) ... ognuno di quei sistemi ammette come soluzione (3t,-7t,3t) al variare di t in R. Quindi una base del nucleo dovrebbe essere $ { ((3, 0, 0),(-7, 0, 0),(3, 0, 0)) , ((0, 3, 0),(0, -7, 0),(0, 3, 0)) , ((0, 0, 3),(0, 0, -7),(0, 0, 3)) } $ da cui $ dim(kerf)=3 $
Hai ragione..avevo sbagliato la risoluzione del sistema.
Ognuno dei tre sistemi dipende da un parametro e in particolare, se risolti, danno le soluzioni:
a=g e d=-7/3 g il primo
b=h e e=-7/3 h il secondo
c=i e f=-7/3 i il terzo
La matrice può allora essere riscritta come X = 1/3 $((3g,3h,3i),(-7g,-7h,-7i),(3g,3h,3i))$ ovvero dipendente da 3 parametri g,h,i.
Allora la dimensione di Ker f = 3. Può essere???
Ognuno dei tre sistemi dipende da un parametro e in particolare, se risolti, danno le soluzioni:
a=g e d=-7/3 g il primo
b=h e e=-7/3 h il secondo
c=i e f=-7/3 i il terzo
La matrice può allora essere riscritta come X = 1/3 $((3g,3h,3i),(-7g,-7h,-7i),(3g,3h,3i))$ ovvero dipendente da 3 parametri g,h,i.
Allora la dimensione di Ker f = 3. Può essere???
Non avevo letto la risposta.
Direi che a questo punto dovrebbe essere questa la soluzione.
Grazie mille!!!
Direi che a questo punto dovrebbe essere questa la soluzione.
Grazie mille!!!
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