Problema di topologia generale

[Cleo121]

Sia $n >= 2$. Si consideri la relazione d’equivalenza seguente su $RR^n$:
$v ∼ w$ $iff$ $v = (2^n)*w$ per qualche $n in ZZ$.
Sia $X$ lo spazio topologico quoziente $RR^n \text{/}∼$.
(1) Mostra che $X \cong S^(n−1) \times S^1$
(2) Esiste una immersione di $X$ in $RR^(n+1)$?
Mi potete aiutare a risolvere questo esercizio? Grazie!

[j18eos]

CIa0, benvenut*;

riesci a vedere cosa succede per \(n=2\)?!

[j18eos]

Potrebbero esserti utili le azioni di gruppo su un insieme: sai di che parlo?

[Cleo121]

Ciao, non riesco a capire nemmeno cosa succede per n=2, mi potresti aiutare? Grazie!

[Stickelberger]

Secondo me questo esercizio non va bene. Infatti, lo spazio quoziente $RR^n$/$~$
non e' di Hausdorff perche' la classe di $(0,\ldots,0)$ e' un punto denso in $RR^n$/$~$.

Probabilmente intendi $RR^n-\{(0,\ldots,0)\}$ invece di $RR^n$?

[Cleo121]

Ciao, anche io mi sono posto lo stesso problema. Sono sicuro che sul testo ci sia scritto R^n, ma a questo punto penso sia uno sbaglio di scrittura.