Problema di matrici

[Fagna1]

se ho i vettori:
v1=(k+7,2,1,4)
v2=(2,-1,2,1)
v3=(k+2,-1,2,k+1)
devo trovare x quali valori sono linearmente indipendenti (matr diverso da zero)quindi rango 3

ma essendo una matrice 3x4,
se faccio la colonna 1,2,3 e calcolo il rango mi esce k<>o
se faccio la colonna 2,3,4 e calcolo il rango esce k<>0
ma se faccio la colonna 1,2,4 e calcolo il ragno esce k<>o e k<>5

dal momento che il risultato è k<>0 non capisco se l ultima matrice che calcolo è sbagliata.. non capisco in questi casi(matrice 3x4)quando devo trovare rango 3, quali sono le possibilità di sottomatrici che devo analizzare...

[Fagna1]

poi per esempio avevo quest altro esercizio:

x quali valori di k il sistema ammette un unica soluzione

(k+4)x+2(k+2)y=k+2
(k+2)x+ky+2z=k-5
(3k+8)x+(4k+3)y+5z=3k-11

allora io so che x aver una soluzione il sistema deve avere rango 3..cioè almeno una delle sue sottomatrici deve essere diversa da zero

nella soluzione viene calcolato il det della matrice a 3x3 (colonne 1 2 3) e si trova k<>0 e k<>2.
io mi domando.. perchè non calcolca la sottomatrice 3x3(colonna 2 3 4)???se per esempio in questo caso il det sarebbe k<>0 e basta, questo non vorrebbe dire che il rango sarebbe 3 solo per k<>0???alla fine la prima sottomatrice(se k fosse uguale a 2)sarebbe uguale a zero, ma l altra sarebbe diversa da zero, quindi sarebbe ancora di rango 3....
dove sbaglio nel ragionamento??

e poi..avrei dovuto anche fare le combinazioni 3x3(colonne 124) e 3x3(colonne 134)per esempio???

[Camillo]

Si tratta di una matrice quadrata ( quella dei coefficienti ) , basta che ne calcoli il determinante e vedi per quali valori è diverso da zero .
Per k diverso da quei valori si avrà un'unica soluziione .

[Fagna1]

hai ragione, ma per esempio nel primo caso è diverso dal secondo, perchè non cè matrice dei coefficienti...li come devo fare?

[milady1]

"Fagna":hai ragione, ma per esempio nel primo caso è diverso dal secondo, perchè non cè matrice dei coefficienti...li come devo fare?

usa il teorema degli orlati..mi spiego (spero!)
PREMESSA
Sia $A$ la matrice di ordine $nxm$ di cui vogliamo calcolare il rango;
1) definiamo minore $M$ di ordine $h$ di $A$ il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine $h$
2) definiamo Orlato di M con la riga i-sima e la colonna j-sima, ad esempio $M(i/j)$,il determinante della matrice quadrata di ordine $h+1$ che ottieni aggiungendo ad $M$ la riga i-sima e la colonna j-sima
TEOREMA DEGLI ORLATI
Il rango di $A=p$ se e soltanto se
a) esiste un minore $M$ di ordine p (con p diverso da zero)
b) ogni orlato di $M$ è uguale a zero.

per il primo esercizio quindi partirei considerando come minore il determinante della sottomatrice quadrata di ordine 2 ottenuta dalla prime 2 righe e le ultime 2 colonne!infatti indipendentemente dal parametro k tale determinante è diverso da zero e quindi il rango è almeno 2...

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Procedi nel seguente modo:
1) Scrivi i vettori come riga e costruisci una matrice 3x4
2) Considera il minore di ordine 3 costituito dalle prime 3 righe e le prime 3 colonne. Ma puoi considerare una qualsiasi minore di ordine 3!!!
3) Calcoli in determinante di tale minore(viene un'equazione in k) e imponi che sia diverso da zero.

Ovviamente per i valori diversi dalle radici il rango della matrice è sicuramente 3 e quindi i vettori sono linearmente indipendenti. Resta da discutere i casi che annullano il determinante e questo lo fai mettendo al posto di k valori trovati e utilizzi il teorema degli orlati. I casi particolari in sostanza sono matrici numeriche di ordine 3x4.