Problema di geometria nello spazio
Ciao a tutti ragazzi, vorrei un aiuto con il seguente problema:
“Dato il piano $a: x+y-z=0$ e la retta $r: {(x=t),(y=2t-2),(z=t):}$, sia P uno dei due punti di r tali che, detta Q la sua proiezione ortogonale su a, si abbia $PQ=sqrt(3)$. Determinare i punti R ed S sulla retta r tali che il triangolo QRS sia rettangolo in Q ed abbia QP come mediana.”
Personalmente sono riuscito a calcolare le coordinate di P attraverso l’equazione della distanza punto-piano e poi non ho saputo proseguire.. voi come lo fareste? Grazie!
“Dato il piano $a: x+y-z=0$ e la retta $r: {(x=t),(y=2t-2),(z=t):}$, sia P uno dei due punti di r tali che, detta Q la sua proiezione ortogonale su a, si abbia $PQ=sqrt(3)$. Determinare i punti R ed S sulla retta r tali che il triangolo QRS sia rettangolo in Q ed abbia QP come mediana.”
Personalmente sono riuscito a calcolare le coordinate di P attraverso l’equazione della distanza punto-piano e poi non ho saputo proseguire.. voi come lo fareste? Grazie!
Risposte
EDIT
ho avuto un’idea, però non so se sia corretta. Poiché la mediana relativa all’ipotenusa la divide in due parti di lunghezza pari alla mediana stessa, allora avrò che $PS=PR=sqrt(3)$, prendendo un punto generico e sostituendo nella formula della distanza di $PR$ (ricordo che P l’ho saputo calcolare) ottengo un’equazione con tre incognite di secondo grado. Metto a sistema questa equazione con la retta r in quanto i punti devono appartenerci ed ho quindi un sistema con tre equazioni e tre incognite. Ovviamente, poiché una di secondo grado, troverò due triple $(x,y,z)$ distinte che saranno proprio i due punti R ed S cercati. È corretto? Grazie ancora
ho avuto un’idea, però non so se sia corretta. Poiché la mediana relativa all’ipotenusa la divide in due parti di lunghezza pari alla mediana stessa, allora avrò che $PS=PR=sqrt(3)$, prendendo un punto generico e sostituendo nella formula della distanza di $PR$ (ricordo che P l’ho saputo calcolare) ottengo un’equazione con tre incognite di secondo grado. Metto a sistema questa equazione con la retta r in quanto i punti devono appartenerci ed ho quindi un sistema con tre equazioni e tre incognite. Ovviamente, poiché una di secondo grado, troverò due triple $(x,y,z)$ distinte che saranno proprio i due punti R ed S cercati. È corretto? Grazie ancora
"Francio99":
allora avrò che $PS=PR=sqrt(3)$
Temo che questo non sia vero.
Esistono altre relazioni però.
Per esempio le rette che partono da Q devono essere ortogonali fra di loro e attraversare r (quindi prendi due punti generici di r e sottraili a Q e poi poni la condizione che il prodotto scalare dei due sia uguale a zero).
Insieme alla condizione che $PS=PR$
Ciao, intanto grazie per la risposta 
Un triangolo rettangolo può essere sempre inscritto in una circonferenza di diametro l'ipotenusa. Ne segue che la mediana relativa all'ipotenusa (nel mio caso proprio PQ) è uguale al raggio e quindi a mezza ipotenusa. La mediana divide l'ipotenusa in due parti uguali, quindi PS=PR e la loro somma deve essere $2sqrt(3)$. Sbaglio qualcosa in questo ragionamento??
Un triangolo rettangolo può essere sempre inscritto in una circonferenza di diametro l'ipotenusa. Ne segue che la mediana relativa all'ipotenusa (nel mio caso proprio PQ) è uguale al raggio e quindi a mezza ipotenusa. La mediana divide l'ipotenusa in due parti uguali, quindi PS=PR e la loro somma deve essere $2sqrt(3)$. Sbaglio qualcosa in questo ragionamento??
"Francio99":
Sbaglio qualcosa in questo ragionamento??
No, ha senso
In questo caso, a tuo avviso, il procedimento che ho seguito per la risoluzione è corretto?
Prova. Conosci P quindi puoi fare direttamente la distanza al quadrato con un punto generico di r $(t,2t-2,t)$ e la poni uguale a 3.
Hai un'equazione di secondo grado...
Hai un'equazione di secondo grado...
Se poi vuoi verificare, fai la diffenreza fra ognuno dei due punti che hai trovato e q e trovi due vettori.
Fai il prodotto vettoriale fra i due e deve venire zero.
Fai il prodotto vettoriale fra i due e deve venire zero.
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