Problema con un sistema

[GiuLoL1]

Ciao a tutti,
devo risolvere questo sistema e vorrei sapere qual è il procedimento giusto.

$\{(8x + yz = 0),(18y + xz = 0),(50z + xy = 0):}$

i miei colleghi di ingegneria pensano che si risolva semplicemente con il metodo di sostituzione, mentre io credo sia necessario scegliere tre incognite come parametri e risolvere il sistema in funzione delle altre tre.


grazie per l'aiuto.

[vittorino70]

Gli ingegneri dicono giusto ma se proprio vuoi un procedimento alternativo ( ma mica tanto diverso !) puoi fare così.
Il sistema ha evidentemente la soluzione banale \(\displaystyle {x=0,y=0,z=0} \)
Per non complicare i calcoli la teniamo da parte e supponiamo che sia \(\displaystyle x\neq 0,y\neq 0,z \neq 0 \)
Scrivi ora il sistema nel modo seguente:
(1) \(\displaystyle \begin{cases} yz=-8x\\zx=-18y\\xy=-50z\end{cases} \)
Moltiplicando le equazioni del sistema (1) hai:
\(\displaystyle x^2y^2z^2=-7200xyz \)
oppure dividendo per xyz ( che non è nullo):
\(\displaystyle xyz=-7200 \)
Da cui ricavi che :
\(\displaystyle \begin{cases} yz= -\frac{7200}{x}\\zx=-\frac{7200}{y}\\xy=-\frac{7200}{z} \end{cases} \)
Sostituendo questi valori nel sistema (1) ricavi che:
\(\displaystyle \begin{cases} 8x -\frac{7200}{x}=0\\18y-\frac{7200}{y}=0\\50z-\frac{7200}{z} \end{cases} \)
Da cui ottieni che :
\(\displaystyle x=\pm30,y=\pm20,z=\pm12 \)
Accoppiando i segni in maniera opportuna avrai in definitiva le soluzioni:
\(\displaystyle [0,0,0], [+30,-20,+12],[+30,+20,-12] ,[-30,-20,+12],[-30,+20,-12] \)

[GiuLoL1]

Grazie mille