Problema con retroimmagine di un piano S

[starsuper]

applicazione linerare $\varphi$ da v3 a v3.

$((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$

e sia S il piano rappresentato da x+y+z=0.

Calcolare..... i miei problemi sono in $\varphi^-1$(S).

uso la regola :
dim($\varphi^-1$(S))=null($\varphi$) + dim (S$nn$Im($\varphi$)).

Calcolo rank($\varphi$) e null($\varphi$) senza problemi, trovo Im($\varphi$), ma ecco il problema. COme trovo l'intersezione ? E come rappresento $\varphi^-1$(S) ?

Probabilmente sbaglio ma vi dico il mio procedimento.

Poiche ho S espressa come equazione vorrei trasformarla in parametrica, in modo da creare un'unica matrice in cui mettero i vettori che formano Im($\varphi$) e quelli che formano S in parametrica. Riduco a squadra e i vettori che restano sono la somma di Im + S, mentre quelli che vanno via sono l'intersezione tra i due. Puo essere? grazie.

[_prime_number]

Si vede facilmente che l'applicazione è biettiva, dunque $\varphi^{-1}S$ sarà un piano. Io prenderei i due vettori $v,w$ di giacitura di $S$ (li trovi mettendolo in forma parametrica) e risolverei i due sistemi $Ax=v,Ay=w$: lo spazio generato dai vettori $x,y$ sarà quello che cerchi.

Quello che dici tu, se ho capito bene, non ha molto senso, dato che $S\subset Im\varphi$... se senso ha sommarli o intersecarli dunque?!

Paola

[starsuper]

hai ragione, in effetti la soluzione gia consigliatami da altre parti è codesta. Purtorppo non sono molto pratico quindi scusate i miei sfondoni. Per ricavare la parametrica di S faccio:
x+y+z=0

z=x-y
da cui
x$(1,0,1)$ + y$( 0,1, -1)$.

scusa ma non ti seguo quando parli di Ax=v,Ay=w intendi :

$((1 ,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$$(x1,x2,x3)$ = $(1,0,1)$

$((1 ,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1))$$(y1,y2,y3)$ = $(0,1,-1)$

da cui creo il sistema


$\{(x1 - x2 = 1),(x2 - x3 = 0),(-x1 + x3 = 1):}$

$\{(y1 - y2 = 0),(y2 - y3 = 1),(-y1 + y3 = -1):}$

??

[_prime_number]

Sì, sono due sistemi separati. I due vettori soluzione $x,y$ saranno la base di $\varphi^{-1}S$.

Paola

PS Carina la tua firma, Linus Torvalds aveva l'ufficio due piani sotto al mio .

[starsuper]

E a questo punto come trovo l'intersezione? Potrei sostituire un generico vettore in S?

p.s. Grazie, piace molto anche a me, purtorppo non posso dire lo stesso dell'algebra lineare

[perplesso1]

Si vede facilmente che l'applicazione è biettiva

Emh... ma la matrice ha rango 2...

Io farei così
Sia $ (a,b,c) $ un generico vettore di $ R^3 $ Calcoliamo la sua immagine

$ ((1,-1,0),(0 ,1,-1),(-1,0,1))((a),(b),(c))= ((a-b),(b-c),(c-a)) $

che deve soddisfare l'equazione $ x+y+z=0 $ di $ S $ per cui $ a-b+b-c+c-a=0 $ ovvero $ 0=0 $ l'equazione è soddisfatta per ogni valore di a,b,c e quindi $ \varphi^{-1}(S)=R^3 $ e ancora $ Im(\varphi)=S $

Potrebbe essere giusto?