Problema con parabola

[oleg.fresi]

Buon giorno. Avrei questo problema: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $R = Oxy$ si consideri la parabola passante per il punto $P =(−5,8)$ ,avente vertice $V =(0,3)$ e asse la retta $r: 2x−y+3=0$.
Determinare una forma canonica della parabola e una rototraslazione che la riduce in tale forma canonica.

Per questo esercizio non ho proprio idea di quale concetto utilizzare dalla teoria delle coniche. Come imposto l'equazione di una parabola non in forma canonica? Una volta che ho quella, è facile determinare una rototraslazione per riportarla in forma canonica. Sapreste darmi un suggerimento sul primo punto?

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Se mi chiedi di trovare u e v in funzione di x e y allora dovrebbe essere, $[,[v]]=[[x],[y]]-[[0],[3]]M^-1$ dove $M^-1$ è la matrice inversa di quella sopra.

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Dato quello, imposto il sistema: $\{(sqrt(5)/21x+10sqrt(5)/21(y-3)=9sqrt(5)/4),(-2sqrt(5)/21x+sqrt(5)/21(y-3)=0):}$
ma se lo risolvo, trovo gli stessi valori di prima, non mi è chiaro cosa ne devo ricavare allora.

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Forse avrei dovuto scrivere $\{(sqrt(5)/21x+10sqrt(5)/21(y-3)=u),(-2sqrt(5)/21x+sqrt(5)/21(y-3)=v):}$

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Vuoi dire che $\{(1/sqrt(5)x+2/sqrt(5)(y-3)=u),(-2/sqrt(5)x+1/sqrt(5)(y-3)=v):}$

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Ahhh, perfetto, adesso mi è chiaro. Non capivo perché bisognasse sostituire in u e v, e quindi l'equazione cartesiana che chiedeva l'esercizio era quella lunga e brutta, non la canonica. Semplicemente non avevo capito questo. In pratica, partire da quella, applicando la rototraslazione, si perviene a quella semplice $u=sqrt(5)/45v^2$, giusto?
Ti ringrazio immensamente sia per la pazienza che per l'impegno di seguirmi e spiegarmi tutto con passaggi e addirittura grafici!

[moccidentale]

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[oleg.fresi]

Chiarissimo, pensavo che con equazione cartesiana ci si riferisse sia a quella che si presenta in forma canonica, sia quella non in forma canonica. Del resto sono entrambe equazioni cartesiane rispetto a due diversi sistemi di riferimento. Da lì il dubbio su quale volesse l'esercizio. Rinnovo i ringraziamenti!