Problema con la forma esponenziale dei numeri complessi.
Salve, vorrei un vostro aiuto su un esercizio sui numeri complessi, in particolare però è sul concetto di exp(z) che vorrei qualche lucidazione.
L'esercizio è: $ w=-3+isqrt3 $
Nella risoluzione dell'esercizio, w viene scritto in forma esponenziale, cioè:
$ w=2sqrt3*e^{i5/6p} $
La p sta per il pgreco (non riesco ad inserirlo O.o).
Cmq dopo questo pone
w=exp(z)
Sostituisce w con la forma esponenziale di prima, e risolve arrivando in fondo ad esprimere w come e elevato a qualcosa.
Quindi può scrivere che "quel qualcosa" è uguale a z.
E l'esercizio finisce li.
Io mi chiedo, ma così non ha trovato z invece che w? Non dovrebbe dire a questo punto che w è exp(z) e cioè e elevato al risultato ottenuto?
Grazie per le risposte.
Io
L'esercizio è: $ w=-3+isqrt3 $
Nella risoluzione dell'esercizio, w viene scritto in forma esponenziale, cioè:
$ w=2sqrt3*e^{i5/6p} $
La p sta per il pgreco (non riesco ad inserirlo O.o).
Cmq dopo questo pone
w=exp(z)
Sostituisce w con la forma esponenziale di prima, e risolve arrivando in fondo ad esprimere w come e elevato a qualcosa.
Quindi può scrivere che "quel qualcosa" è uguale a z.
E l'esercizio finisce li.
Io mi chiedo, ma così non ha trovato z invece che w? Non dovrebbe dire a questo punto che w è exp(z) e cioè e elevato al risultato ottenuto?
Grazie per le risposte.
Io
Risposte
ALLORA: innanzitutto il pigreco si scrive pi tra i simboli di dollaro..
poi,un numero complesso in formula esponenziale è nella forma $z=\rho*e^(i*\theta)$
dove $\rho$ è il modulo di z e $\theta$ è l'arcotangente di $b/a$ considerando il generico $z=a+ib$
poi,un numero complesso in formula esponenziale è nella forma $z=\rho*e^(i*\theta)$
dove $\rho$ è il modulo di z e $\theta$ è l'arcotangente di $b/a$ considerando il generico $z=a+ib$
"frab":
ALLORA: innanzitutto il pigreco si scrive pi tra i simboli di dollaro..
poi,un numero complesso in formula esponenziale è nella forma $z=\rho*e^(i*\theta)$
dove $\rho$ è il modulo di z e $\theta$ è l'arcotangente di $b/a$ considerando il generico $z=a+ib$
Sì, ho capito cos'è la forma esponenziale.
Ma non è questo che ho chiesto.
Non capisco se alla fine quello che ha trovato è w, o z, il numero complesso che ha inserito tale che w = exp (z).
Perchè se è z, non è sbagliato?
Ciao, scusami se ti faccio un paio di domande, ma non ho capito se è un esercizio che devi svolgere te, qual'è l'incognita che devi trovare oppure se è un esercizio svolto che non riesci a capire..
Nel primo caso, da quanto ho capito ponendo $ w=exp(z) $ e conoscendo $w$ immagino tu ti debba ricavare z che è pari al logaritmo complesso di w, ora se segui un corso di algebra lineare dovresti avere una formula pronta per svolgere il logaritmo complesso, altrimenti se fai un corso di livello maggiore, dovresti riuscire a calcolare con i tuoi mezzi il logaritmo di un esponenziale complesso ( che sarebbe, se non ricordo male, un integrale di linea svolto senza passare per lo 0 con metodi un po complicati per farsi capire).
Se invece l'incognita è $w$, sinceramente non capisco cosa tu debba trovare dato che ce l'hai già scritta in entrambe le forme possibili (mancherebbe solo $rho(cos theta +isin theta)$
Ultima ipotesi, se è un esercizio svolto dovresti spiegarti un minimo meglio perchè non ho capito cosa chiedi
spero di esserti stato d'aiuto, se così non fosse mi scuso in anticipo
Nel primo caso, da quanto ho capito ponendo $ w=exp(z) $ e conoscendo $w$ immagino tu ti debba ricavare z che è pari al logaritmo complesso di w, ora se segui un corso di algebra lineare dovresti avere una formula pronta per svolgere il logaritmo complesso, altrimenti se fai un corso di livello maggiore, dovresti riuscire a calcolare con i tuoi mezzi il logaritmo di un esponenziale complesso ( che sarebbe, se non ricordo male, un integrale di linea svolto senza passare per lo 0 con metodi un po complicati per farsi capire).
Se invece l'incognita è $w$, sinceramente non capisco cosa tu debba trovare dato che ce l'hai già scritta in entrambe le forme possibili (mancherebbe solo $rho(cos theta +isin theta)$
Ultima ipotesi, se è un esercizio svolto dovresti spiegarti un minimo meglio perchè non ho capito cosa chiedi
spero di esserti stato d'aiuto, se così non fosse mi scuso in anticipo
"Roshi88":
Ciao, scusami se ti faccio un paio di domande, ma non ho capito se è un esercizio che devi svolgere te, qual'è l'incognita che devi trovare oppure se è un esercizio svolto che non riesci a capire..
Nel primo caso, da quanto ho capito ponendo $ w=exp(z) $ e conoscendo $w$ immagino tu ti debba ricavare z che è pari al logaritmo complesso di w, ora se segui un corso di algebra lineare dovresti avere una formula pronta per svolgere il logaritmo complesso, altrimenti se fai un corso di livello maggiore, dovresti riuscire a calcolare con i tuoi mezzi il logaritmo di un esponenziale complesso ( che sarebbe, se non ricordo male, un integrale di linea svolto senza passare per lo 0 con metodi un po complicati per farsi capire).
Se invece l'incognita è $w$, sinceramente non capisco cosa tu debba trovare dato che ce l'hai già scritta in entrambe le forme possibili (mancherebbe solo $rho(cos theta +isin theta)$
Ultima ipotesi, se è un esercizio svolto dovresti spiegarti un minimo meglio perchè non ho capito cosa chiedi
spero di esserti stato d'aiuto, se così non fosse mi scuso in anticipo
E' un esercizio svolto dal professore, io ho solo riportato i passaggi che non riesco a capire. Iltesto dell'esercizio è quello che ho riportato, e onestamente hai ragione, non riesco acapire nemmeno io quale sia il suo scopo O.O
Non ci sto capenso più nulla.
"frab":Falso. Vedi
$\theta$ è l'arcotangente di $b/a$ considerando il generico $z=a+ib$
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#481366
Attenzione a questi conti fatti a macchinetta. E' facile sbagliare.
"Jonhson91":
[quote="Roshi88"]Ciao, scusami se ti faccio un paio di domande, ma non ho capito se è un esercizio che devi svolgere te, qual'è l'incognita che devi trovare oppure se è un esercizio svolto che non riesci a capire..
Nel primo caso, da quanto ho capito ponendo $ w=exp(z) $ e conoscendo $w$ immagino tu ti debba ricavare z che è pari al logaritmo complesso di w, ora se segui un corso di algebra lineare dovresti avere una formula pronta per svolgere il logaritmo complesso, altrimenti se fai un corso di livello maggiore, dovresti riuscire a calcolare con i tuoi mezzi il logaritmo di un esponenziale complesso ( che sarebbe, se non ricordo male, un integrale di linea svolto senza passare per lo 0 con metodi un po complicati per farsi capire).
Se invece l'incognita è $w$, sinceramente non capisco cosa tu debba trovare dato che ce l'hai già scritta in entrambe le forme possibili (mancherebbe solo $rho(cos theta +isin theta)$
Ultima ipotesi, se è un esercizio svolto dovresti spiegarti un minimo meglio perchè non ho capito cosa chiedi
spero di esserti stato d'aiuto, se così non fosse mi scuso in anticipo
E' un esercizio svolto dal professore, io ho solo riportato i passaggi che non riesco a capire. Iltesto dell'esercizio è quello che ho riportato, e onestamente hai ragione, non riesco acapire nemmeno io quale sia il suo scopo O.O
Non ci sto capenso più nulla.[/quote]
ahah a volte capita, comunque se riesci a capire cosa voglia, aggiorna pure che se posso rispondo volentieri
Allora, aggiornamenti xD Credo che quell'esercizio fosse solo un modo per scrivere in forma esponenziale quel numero complesso.
Cmq, ho un nuovo quesito: innanzitutto vorrei sapere se questa formula è corretta:
$ z^n= rho^n *e^(ithetan) $
Poi, l'esercizio, sempre sui numeri complessi è questo:
$ z=-1-i $
Calcolare i seguenti numeri (calcolato il primo gli altri sono scontati): $ z^15 , Re(z^15) , Im (z^15) $
Allora io ho utilizzato la formula qua sopra per risolvere, ma non mi torna!
Nell'esercizio svolto dal professore, lui prima scrive $ z^15 $ in forma esponenziale, senza però elevare il modulo ma solo moltiplicando per 15 l'esponente della e, cioe:
$ z^15 = sqrt2*e^(-15i(3/4pi+2kpi)) $
poi scrive:
$ e^w = sqrt2*e^(-15i(3/4pi+2kpi)) $
e quindi trova w:
$ w = ln(sqrt2)-15i(3/4*pi+2kpi) $
Ma non doveva trovare z? Aiuto! Io non ci capisco davvero niente!
Cmq, ho un nuovo quesito: innanzitutto vorrei sapere se questa formula è corretta:
$ z^n= rho^n *e^(ithetan) $
Poi, l'esercizio, sempre sui numeri complessi è questo:
$ z=-1-i $
Calcolare i seguenti numeri (calcolato il primo gli altri sono scontati): $ z^15 , Re(z^15) , Im (z^15) $
Allora io ho utilizzato la formula qua sopra per risolvere, ma non mi torna!
Nell'esercizio svolto dal professore, lui prima scrive $ z^15 $ in forma esponenziale, senza però elevare il modulo ma solo moltiplicando per 15 l'esponente della e, cioe:
$ z^15 = sqrt2*e^(-15i(3/4pi+2kpi)) $
poi scrive:
$ e^w = sqrt2*e^(-15i(3/4pi+2kpi)) $
e quindi trova w:
$ w = ln(sqrt2)-15i(3/4*pi+2kpi) $
Ma non doveva trovare z? Aiuto! Io non ci capisco davvero niente!
allora la prima formula che hai scritto è giusta. ti basti come riprova (credo tu l'abbia fatta) il fatto che quando fai la radice quadrata di un numero complesso è pari alla radice quadrata di $rho$ e l'argomento è $theta$ mezzi.
Per quanto riguarda lo svolgere l'esercizio, (ovviamente non prendere tutto per buono al 100% ma la sicurezza è abbastanza alta) il testo sembra chiedere z quindi ovviamente devi elevare alla 15 il modulo di z e moltiplicare per 15 l'esponente quindi riconduci l'argomento theta al primo giro$ + 2kpi$ e ti calcoli il tuo numero in forma cartesiana per poter rispondere al punto b e c del tuo problema.
Per quanto riguarda ciò che fa il professore, sinceramente ci sto capendo poco, un interpretazione che credo possa essere valida sta nel fatto che lui ponga $e^w$ pari a $ z^15$ e che quindi calcoli l'esponente del numero complesso che sembra essere l'incognita alla quale lui è interessato. Però sinceramente non capisco il legame col testo dell'esercizio, forse è un altro punto dell'esercizio che chiede di trovare l'argomento di un ipotetico numero complesso $y=e^w$
Ovviamente prendi quest'ultima parte col beneficio del dubbio perchè è solo una mia interpretazione
spero di esserti stato perlomeno un pochino utile
Per quanto riguarda lo svolgere l'esercizio, (ovviamente non prendere tutto per buono al 100% ma la sicurezza è abbastanza alta) il testo sembra chiedere z quindi ovviamente devi elevare alla 15 il modulo di z e moltiplicare per 15 l'esponente quindi riconduci l'argomento theta al primo giro$ + 2kpi$ e ti calcoli il tuo numero in forma cartesiana per poter rispondere al punto b e c del tuo problema.
Per quanto riguarda ciò che fa il professore, sinceramente ci sto capendo poco, un interpretazione che credo possa essere valida sta nel fatto che lui ponga $e^w$ pari a $ z^15$ e che quindi calcoli l'esponente del numero complesso che sembra essere l'incognita alla quale lui è interessato. Però sinceramente non capisco il legame col testo dell'esercizio, forse è un altro punto dell'esercizio che chiede di trovare l'argomento di un ipotetico numero complesso $y=e^w$
Ovviamente prendi quest'ultima parte col beneficio del dubbio perchè è solo una mia interpretazione
spero di esserti stato perlomeno un pochino utile
"Roshi88":
allora la prima formula che hai scritto è giusta. ti basti come riprova (credo tu l'abbia fatta) il fatto che quando fai la radice quadrata di un numero complesso è pari alla radice quadrata di $rho$ e l'argomento è $theta$ mezzi.
Per quanto riguarda lo svolgere l'esercizio, (ovviamente non prendere tutto per buono al 100% ma la sicurezza è abbastanza alta) il testo sembra chiedere z quindi ovviamente devi elevare alla 15 il modulo di z e moltiplicare per 15 l'esponente quindi riconduci l'argomento theta al primo giro$ + 2kpi$ e ti calcoli il tuo numero in forma cartesiana per poter rispondere al punto b e c del tuo problema.
Per quanto riguarda ciò che fa il professore, sinceramente ci sto capendo poco, un interpretazione che credo possa essere valida sta nel fatto che lui ponga $e^w$ pari a $ z^15$ e che quindi calcoli l'esponente del numero complesso che sembra essere l'incognita alla quale lui è interessato. Però sinceramente non capisco il legame col testo dell'esercizio, forse è un altro punto dell'esercizio che chiede di trovare l'argomento di un ipotetico numero complesso $y=e^w$
Ovviamente prendi quest'ultima parte col beneficio del dubbio perchè è solo una mia interpretazione
Sei stato utilissimo , grazie mille. Non riesco davvero a capire che voglia fare! Inizio a dubitare di questi appunti O.O
Cmq se posso chiederti un'ultima cosa, vorrei sapere come si risolve a questo punto l'esercizio.
Cioè, una volta che ho scritto in forma esponenziale il numero elevato all 15, lo porto semplicenetne in forma trigoniometrica?
Allora, io l'esercizio lo svolgerei così:
Dato il numero in forma trigonometrica $z=-1-i$ immaginatelo sulla circonferenza unitaria con asse x= asse dei numeri reali e asse y asse dei numeri complessi, Il numero z avrà componente x (reale) pari a -1 e componente y (immaginaria) pari a -1 quindi il modulo del "vettore" (passami il termine
) sarà $sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$ l'argomento invece sarà l'angolo del tuo "vettore" sul cerchio unitario che è pari o a $5/4*pi$ oppure $-3/4*pi$ ovviamente piu il possibile $2kpi$.
A questo punto hai il tuo z in forma polare, ti puoi facilmente ricavare la potenza, semplicemente elevando $sqrt{2}^15$ e moltiplicando il tuo $theta$ per $15$ (ricordati di moltiplicare pure il $2kpi$ per sicurezza che poi negli esercizi con le radici diventa importante)
a questo punto hai un nuovo vettore $z^15$ scritto in forma polare, e puoi ricavarti tranquillamente la scrittura trigonometrica tramite seno e coseno dell'argomento $15*-3/4pi$ e moltiplicando in seguito per il modulo del vettore..
Non ho scritto i calcoli perchè sono davvero banali questa è la risposta alla prima domanda, ovviamente la seconda e la terza una volta che il numero è scritto in forma trigonometrica non avrai problemi a trovarle
Dato il numero in forma trigonometrica $z=-1-i$ immaginatelo sulla circonferenza unitaria con asse x= asse dei numeri reali e asse y asse dei numeri complessi, Il numero z avrà componente x (reale) pari a -1 e componente y (immaginaria) pari a -1 quindi il modulo del "vettore" (passami il termine
) sarà $sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$ l'argomento invece sarà l'angolo del tuo "vettore" sul cerchio unitario che è pari o a $5/4*pi$ oppure $-3/4*pi$ ovviamente piu il possibile $2kpi$.A questo punto hai il tuo z in forma polare, ti puoi facilmente ricavare la potenza, semplicemente elevando $sqrt{2}^15$ e moltiplicando il tuo $theta$ per $15$ (ricordati di moltiplicare pure il $2kpi$ per sicurezza che poi negli esercizi con le radici diventa importante)
a questo punto hai un nuovo vettore $z^15$ scritto in forma polare, e puoi ricavarti tranquillamente la scrittura trigonometrica tramite seno e coseno dell'argomento $15*-3/4pi$ e moltiplicando in seguito per il modulo del vettore..
Non ho scritto i calcoli perchè sono davvero banali
questa è la risposta alla prima domanda, ovviamente la seconda e la terza una volta che il numero è scritto in forma trigonometrica non avrai problemi a trovarle
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