Problema con esercizio su autovettori

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Salve!
E ' un po' ormai che sbatto la testa contro questo esercizio teorico su autovettori e autovalori e non riesco a venirne capo. Per questo, seguendo il forum già da un po' ho deciso di chiedere una mano qua, non si sa mai che qualcuno possa venire in mio soccorso
La traccia è:

Sia A una matrice quadrata di ordine n e v appartiene a R^n un autovettore di A relativo all'autovalore 3. Provare che v è un autovettore della matrice B=2A-I, dove I è la matrice unità


Grazie in anticipo!

[maurer]

Applica la definizione.
[tex]B \mathbf v = (2 A - I)\mathbf v = 2 A \mathbf v - I \mathbf v = 2 (3 \mathbf v) - \mathbf v = 5 \mathbf v[/tex]
quindi [tex]\mathbf v[/tex] è un autovettore relativo a [tex]5[/tex] per [tex]B[/tex].

Più in generale, siano [tex]A,B[/tex] due matrici qualsiasi. Sia [tex]\mathbf v[/tex] un vettore che sia un autovettore relativo a [tex]\lambda[/tex] per [tex]A[/tex] ed un autovettore relativo a [tex]\mu[/tex] per [tex]B[/tex]. Provare che [tex]\mathbf v[/tex] è un autovettore relativo a [tex]\lambda + \mu[/tex] per [tex]A + B[/tex].

[Paperice]

Hai perfettamente ragione. Mi ero incaponito che v dovesse essere autovettore per B sempre rispetto a 3, ecco perché non ne venivo a capo!

Molte grazie!

p.s: un solo dubbio:

"maurer":Applica la definizione.
[tex]B \mathbf v = (2 A - I)\mathbf v = 2 A - \mathbf v - I \mathbf v = 2 (3 \mathbf v) - \mathbf v = 5 \mathbf v[/tex]

Qui non dovrebbe essere (2A - I)v = 2Av - Iv?

[maurer]

Certo. Ho aggiunto un - a caso.

[Paperice]

Perfetto, ancora grazie