Problema con basi e generatori

[gcappellotto]

Salve.

Ho un sottospazio:
$U= {(x_1,x_2,x_3) \in R^3 t.c. x_1-2x_2+x_3=0}$
devo trovare generatori e una base di U.
--------
Un generatore potrebbe essere:
$(2,1,0),(3,3,3),(-1,0,1)$
è corretto? Se non lo fosse, come si trovano i generatori di U?

Per trovare una base di U devo prendere i vettori del generatore che sono linearmente indipendenti.
Ho pensato di costruire una matrice in questo modo:

\[
M=
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 3\\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}
\]
Il determinante di M è $0$, un minore di ordine 2 risulta diverso da 0, quindi la dimensione è 2.
Una base, formata da vettori linearmente indipendenti, potrebbe essere:
$(2,1,0),(-1,0,1)$

Gradirei qualche consiglio o le correzioni sicuramente necessarie...
Grazie e saluti
Giovanni C.

[marysax90]

Tutto giusto.
Sulla seconda riga della matrice $M$ hai scritto 3 al posto di 1, ma penso sia un refuso.

Il tuo è il metodo più lungo, ma direi che con questo metodo mostri a sufficienza la differenza tra generatori e base di un sottospazio. Se ti trovi bene così, per ora non cambiarlo.

Un altro metodo, che nella sostanza è identico al tuo, potrebbe essere questo:
Considera $x_1-2x_2+x_3=0$. Lo puoi vedere come un sistema di 1 equazione in 3 incognite, dove la matrice associata è il vettore $(1, -2, 1)$ che ha rango 1. Per il Teorema di Rouché Capelli (che è lo stesso che hai usato tu) la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema è $3-1=2$.
Ora scrivi $x_1-2x_2=-x_3$
Poni $x_1=1$ e $x_2=0$ e ottieni che $x_3=-1$, ottenendo il vettore $(1, 0, -1)$.
Poi poni $x_1=0$ e $x_2=1$ e ottieni che $x_3=2$, ottenendo il vettore $(0, 1, 2)$
In questo modo i due vettori ottenuti sono sempre linearmente indipendenti e formano quindi una base del sottospazio dell'esercizio.