Problema cironferenza nello spazio
Allora ho un problema su una circonferenza nello spazio.
Devo trovare la circonferenza tangente ad una data retta t in un punto T e con centro su un’altra retta r. Io ho pensato di risolverlo così; però vorrei da voi una conferma e, casomai, se mi poteste indicare anche qualche altro metodo, se esiste.
Infatti questo non lo reputo granché dal punto di vista stilistico e dell’efficienza. Diciamo che è un po’ alla femminina.
Allora lo espongo.
Si sa che nello spazio, per trovare una circonferenza, occorre trovare un piano di giacenza e una sfera ed intersecarli. Comunque occorre un piano di giacenza.
Allora io trovo esso come piano del fascio proprio contenente la retta CT e perpendicolare al piano tangente alla circonferenza nel punto T.
Infatti il piano su cui giace la circonferenza deve contenere sia il centro che il punto di tangenza e, dunque, la retta che passa per ambedue i punti Quindi è un piano del fascio contenente la retta CT. Successivamente io ho l’impressione che sia perpendicolare al piano tangente alla circonferenza in T. Almeno me lo figuro così. Però, non so se sia un’impressione fallace. Per cui chiedo a voi conferma su questo punto.
Avendo così trovato il piano di giacenza (sull’equazione del fascio contenente la retta CT impongo l’ortogonalità al piano tangente in T), trovo il centro come intersezione del piano perpendicolare alla retta tangente e passante per T con la retta r. Il raggio come distanza tra il centro ed il punto di tangenza T.
Metto a sistema la condizione “〖d(C,R)〗^2 =R^2 " con l’equazione del piano di giacenza.
Pareri?
Devo trovare la circonferenza tangente ad una data retta t in un punto T e con centro su un’altra retta r. Io ho pensato di risolverlo così; però vorrei da voi una conferma e, casomai, se mi poteste indicare anche qualche altro metodo, se esiste.
Infatti questo non lo reputo granché dal punto di vista stilistico e dell’efficienza. Diciamo che è un po’ alla femminina.
Allora lo espongo.
Si sa che nello spazio, per trovare una circonferenza, occorre trovare un piano di giacenza e una sfera ed intersecarli. Comunque occorre un piano di giacenza.
Allora io trovo esso come piano del fascio proprio contenente la retta CT e perpendicolare al piano tangente alla circonferenza nel punto T.
Infatti il piano su cui giace la circonferenza deve contenere sia il centro che il punto di tangenza e, dunque, la retta che passa per ambedue i punti Quindi è un piano del fascio contenente la retta CT. Successivamente io ho l’impressione che sia perpendicolare al piano tangente alla circonferenza in T. Almeno me lo figuro così. Però, non so se sia un’impressione fallace. Per cui chiedo a voi conferma su questo punto.
Avendo così trovato il piano di giacenza (sull’equazione del fascio contenente la retta CT impongo l’ortogonalità al piano tangente in T), trovo il centro come intersezione del piano perpendicolare alla retta tangente e passante per T con la retta r. Il raggio come distanza tra il centro ed il punto di tangenza T.
Metto a sistema la condizione “〖d(C,R)〗^2 =R^2 " con l’equazione del piano di giacenza.
Pareri?
Risposte
Ecco i dati:
Ovviamente s l' ho chiamato r per errore.
Proprio nessuno è in grado di dirmi niente?
Il vettore direzionale della retta t è :
$n_t=(1,2,1)$
Il piano $\beta$ passante per T ed ortogonale alla retta t ha equazione :
$x+2y+z-6=0$
L'intersezione C di $\beta$ con la retta s rappresenta il centro della circonferenza richiesta:
$C(1,4,-3)$
La superficie sferica S di centro C e raggio $CT=2\sqrt5$ ha equazione :
$ (x-1)^2+(y-4)^2+(z+3)^2=20 $
Il piano $\alpha$, passante per la retta t e per il punto C, ha equazione :
$5x-2y-z=0$
La circonferenza cercata è l'intersezione tra la superficie S ed il piano $\alpha$ e dunque le sue equazioni sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x-1)^2+(y-4)^2+(z+3)^2=20 \\5x-2y-z=0\end{cases} \)
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