Problema applicazione lineare

[nick_10]

Salve a tutti!!! Ho dei problemi nel risolvere questo esercizio sulla costruzione di un'applicazione lineare.
"Costruire un'applicazione lineare T:R^4---->spazio polinomi a coefficienti reali di grado minore uguale a 3 tale che:
-Im T NON contenga polinomi di grado 1 o 0(tranne il caso del polinomio nullo);
-Ker T sia (sistema) x1=x2 con x3=x4
e scriverne la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche."
Avevo pensato di trovare una base del nucleo e completarla in qualche modo...però sforzo inutile perché non riesco proprio a svolgerlo. Grazie in anticipo a chi mi darà una mano

[spugna2]

Dalle equazioni del nucleo si vede facilmente che quest'ultimo è il sottospazio formato dai vettori del tipo $(a,a,b,b)$, e quindi una sua base è $\{ e_1+e_2, e_3+e_4 \}$.

Per il completamento a base ti basta aggiungere alcuni vettori della base canonica (quali?)

[nick_10]

Intanto grazie per la risposta. Ma non ho capito perché come base devo prendere quella proposta e poi una volta completata?

[spugna2]

Ti conviene usare quella base perché così il passaggio successivo è più semplice (in compenso, alla fine dovrai fare un cambio di coordinate): se completi una base di $\ker T$ a base di $RR^4$ con altri due vettori, le immagini ti questi ultimi generano l'immagine di $T$, quindi devi scegliere due polinomi linearmente indipendenti tali che nessuna delle loro combinazioni lineari (tranne quella nulla) abbia grado $\le 1$...

Il completamento a base si può effettuare, ad esempio, con i vettori $e_1$ ed $e_4$: si ha quindi la base $B=\{e_1,e_1+e_2,e_3+e_4,e_4 \}$, e per rispettare la condizione sull'immagine si può porre $T(e_1)=x^2$ e $T(e_4)=x^3$. A questo punto, detta $C'=\{1,x,x^2,x^3 \}$ la base canonica dello spazio dei polinomi, la matrice che rappresenta $T$ rispetto alle basi $B$ e $C'$ è $M_{B,C'}(T)=((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,1))$, e dobbiamo trovare $M_{C,C'}(T)$, dove $C$ è la base canonica di $RR^4$.

$A_{B,C}=((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,1,1))$

$A_{C,B}=A_{B,C}^{-1}=((1,-1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,-1,1))$

$M_{C,C'}(T)=M_{B,C'}(T) \cdot A_{C,B}=((0,0,0,0),(0,0,0,0),(1,-1,0,0),(0,0,-1,1))$

[nick_10]

Okok diciamo che ho capito adesso. Grazie mille!!!!