Prima forma fondamentale

[wedge]

vorrei vedere se ho capito una cosa... qualcuno può darmi conferma di questo elementare ragionamento (o eventualmente darmi due schiaffoni)?

data una superficie X: D-->E^3 ne calcolo la prima forma fondamentale (E, F, G). dunque la metrica di X sarà $ds^2 = Edu^2 + 2F dudv + Gdv^2.$

se ho una curva I-->E^2 giacente su X, sia $gamma(t)=(u(t),v(t))$, che per composizione sulla superficie diventa $X(gamma)=X(u(t),v(t))$, per calcolarne la sua lunghezza col parametro $alpha $L=int_alpha^beta [E ((du)/dt)^2 + 2F ((du)/dt)(dv/dt) + G((dv)/dt)^2.]^(1/2) dt$

se la curva è data in coordinate cartesiane v=f(u) $alpha $L=int_alpha^beta [E + 2F f'(u) + G (f'(u))^2]^(1/2) du$

è tutto corretto?

so che è un dubbio stupido...

merci.

[wedge]

nessuno?

[fireball1]

Io adoro la Geometria Differenziale
e infatti tra breve ci farò una tesina
sopra, con l'aiuto del mio prof. di
Analisi Matematica I/3 (materia in
cui, scusate l'euforia, ho riportato un
bel 30/30 ). Sicuramente studierò le superfici.
Se non è urgente...

[wedge]

cosa intendi per "tesina"?

comunque hai ragione, le superfici sono molto interessanti, anche se decisamente più complesse delle curve

[Sk_Anonymous]

La curva $X(gamma)$ e' quella descritta sulla superficie dal punto (x(u,v),y(u,v),z(u,v))
allorche' al variare di t in $[alpha,beta]$ il punto (u(t),v(t)) varia su $gamma$
Le formule sono esatte e a questo livello si trovano su qualsiasi testo di Analisi II.
Archimede