Prerequisiti topologia
Quali sono i prerequisiti in termini di conoscenze per affrontare un corso triennale introduttivo di Topologia?
Risposte
Di per sé quasi nessuno... basta un po' di insiemistica. Poi se uno è già a conoscenza degli spazi metrici e della topologia in essi tanto meglio.
Quindi nonostante il corso sia stato denominato "geometria 3" si può fare anche senza essere a conoscenza degli argomenti insegnati a "geometria2" ( endomorfismi, forme bilineari e quadratiche, quadriche e coniche, dualità) ?
Per quanto riguarda invece un corso di geometria differenziale delle curve e delle superfici in R3, questo quali prerequisiti può avere?
Per quanto riguarda invece un corso di geometria differenziale delle curve e delle superfici in R3, questo quali prerequisiti può avere?
In topologia senza vedere un po' di esempi concreti è difficile vedere cosa succede. Gli esempi concreti vivono, in genere, in spazi vettoriali e coinvolgono concetti di geometria 1 e 2, e analisi 1 e 2. Diciamo che per studiare (e se si è bravi capire) la teoria, serve davvero solo un po' di teoria degli insiemi. Ma per capire davvero cosa si sta facendo, un po' di algebra lineare e di calcolo a mio avviso sono necessari.
Per un corso di curve e superfici è certamente necessaria una buona base di algebra lineare e di calcolo differenziale.In geometria differenziale si prendono le cose, si buttano dentro uno spazio vettoriale e si comincia a farci derivate...(questo di fatto è quello che succede in ogni prima pagina di un corso di geometria differenziale; in questo caso senza basi non ci si avvicina neanche alla teoria).
Per un corso di curve e superfici è certamente necessaria una buona base di algebra lineare e di calcolo differenziale.In geometria differenziale si prendono le cose, si buttano dentro uno spazio vettoriale e si comincia a farci derivate...(questo di fatto è quello che succede in ogni prima pagina di un corso di geometria differenziale; in questo caso senza basi non ci si avvicina neanche alla teoria).
I prerequisiti di Analisi 1 e 2 e un primo corso di Algebra lineare li ho/ avrò al momento dello studio di questi corsi. Quello che purtroppo salterò a piè pari è appunto ciò che si fa a geometria 2. Mi chiedevo se questo potesse inficiare la comprensione di questi due corsi e di quale in modo maggiore. (Devo scegliere uno dei due e credo che a questo punto sceglierò Topologia (alias Geometria 3)
Vai tranquillo, quoto quanto ha scritto Luca.Lussardi.
Anche io quoto Luca Lussardi. La topologia generale necessita solo della teoria degli insiemi. L'aver fatto il primo esame di analisi e una comprensione degli spazi vettoriali normali può essere utile per capire alcuni esempi, ma nulla di più. Anche se parte della teoria si apprezza a pieno solo quando la si vede all'opera. In sostanza non mi preoccuperei tanto.
Un corso sulle curve e le superficie necessita analisi, algebra lineare (la multilineare è utile) e topologia. Per alcune cose immagino un po' di algebra astratta possa essere utile ma non è essenziale.
Un corso sulle curve e le superficie necessita analisi, algebra lineare (la multilineare è utile) e topologia. Per alcune cose immagino un po' di algebra astratta possa essere utile ma non è essenziale.
Boh...io sono d'accordo solo in parte. Come fate a far capire a uno studente cos'è una famiglia di aperti senza un esempio concreto tipo $\RR^n$? E come fate a spiegare la continuità senza che gli studenti abbiano in mente la continuità di funzioni da $\RR$ in $\RR$?
Esempio stupido: Io, senza un corso di analisi 2, non avrei idea di come spiegare che in un omeomorfismo non è gratis che l'inversa sia continua, che penso sia una cosa importante che spesso confonde gli studenti.
Sul resto sono d'accordo: un corso di topologia ha bisogno di meno background di un corso su curve e superfici. E dal punto di vista tecnico sì, in topologia si usa solo teoria degli insiemi e nella teoria probabilmente si va molto in là usando solo unioni e intersezioni e le conoscenze acquisite via via...però uno deve essere molto molto molto molto sveglio (e non dico che l'autore del thread non lo sia eh...però sinceramente senza geometria 1/2 analisi 1/2 io topologia non l'avrei mai affrontata con lo stesso spirito).
Esempio stupido: Io, senza un corso di analisi 2, non avrei idea di come spiegare che in un omeomorfismo non è gratis che l'inversa sia continua, che penso sia una cosa importante che spesso confonde gli studenti.
Sul resto sono d'accordo: un corso di topologia ha bisogno di meno background di un corso su curve e superfici. E dal punto di vista tecnico sì, in topologia si usa solo teoria degli insiemi e nella teoria probabilmente si va molto in là usando solo unioni e intersezioni e le conoscenze acquisite via via...però uno deve essere molto molto molto molto sveglio (e non dico che l'autore del thread non lo sia eh...però sinceramente senza geometria 1/2 analisi 1/2 io topologia non l'avrei mai affrontata con lo stesso spirito).
Sinceramente trovo che i corsi di analisi presentano le cose di topologia in maniera un po’ confusa e frammentaria. Questo può anche rendere la topologia più difficile di quanto non sia. In particolar modo il concetto di continuità viene presentato in modo troppo prolisso (e neanche poi così intuitivo).
Riguardo alla famiglia di aperti direi che \(\mathbf{R}\) e/o \(\mathbf{C}\) sono sufficienti per capirli. Per gli omeomorfismi penso possano esistere esempi anche senza usare concetti di analisi 2 (che tra l'altro avrebbe la topologia o almeno gli spazi metrici come prerequisito).
Riguardo alla famiglia di aperti direi che \(\mathbf{R}\) e/o \(\mathbf{C}\) sono sufficienti per capirli. Per gli omeomorfismi penso possano esistere esempi anche senza usare concetti di analisi 2 (che tra l'altro avrebbe la topologia o almeno gli spazi metrici come prerequisito).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo