Posizione reciproche tra due rette
Ciao ragazzi, ho un problemuccio con questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico $O_(xyz)$ si determini la posizione reciproca delle due rette:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):}$ $s : \{(2x - y + 3z = 0),(-y + z = 0):}$
ecco come ho fatto:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):} rArr \{(-t - y + 2t = 0),(x = -t),(z = t):} rArr \{(y = t),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec r = (-1, 1, 1)$
poi passo ad s:
$s : \{(2x - y + 3z = 5),(-y + z = 0):} rArr \{(2x - t + 3t = 5),(z = t),(y = t):} rArr \{(x = - t + 5/2),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec s = (-1, 1, 1)$
poi faccio il prodotto tra vettore per vedere se le rette si intersecano:
$\vec r × \vec s = |(i,j,k),(-1,1,1),(-1,1,1)| = i(1-1) + j(-1+1) + k(-1+1)$ dunque il vettore $\vec w = (0, 0, 0)$
è sbagliato qualcosa nel procedimento?
inoltre non ho capito (su un libro dice una cosa, su un'altro ne dice una opposta) quando $\vec r × \vec s = 0$ le rette sono perpendicolari giusto? Che differenza c'è (a livello di calcoli) tra rette sghembe, incidenti, parallele e coincidenti?
grazie in anticipo per le risposte
Fissato nello spazio un riferimento metrico $O_(xyz)$ si determini la posizione reciproca delle due rette:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):}$ $s : \{(2x - y + 3z = 0),(-y + z = 0):}$
ecco come ho fatto:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):} rArr \{(-t - y + 2t = 0),(x = -t),(z = t):} rArr \{(y = t),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec r = (-1, 1, 1)$
poi passo ad s:
$s : \{(2x - y + 3z = 5),(-y + z = 0):} rArr \{(2x - t + 3t = 5),(z = t),(y = t):} rArr \{(x = - t + 5/2),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec s = (-1, 1, 1)$
poi faccio il prodotto tra vettore per vedere se le rette si intersecano:
$\vec r × \vec s = |(i,j,k),(-1,1,1),(-1,1,1)| = i(1-1) + j(-1+1) + k(-1+1)$ dunque il vettore $\vec w = (0, 0, 0)$
è sbagliato qualcosa nel procedimento?
inoltre non ho capito (su un libro dice una cosa, su un'altro ne dice una opposta) quando $\vec r × \vec s = 0$ le rette sono perpendicolari giusto? Che differenza c'è (a livello di calcoli) tra rette sghembe, incidenti, parallele e coincidenti?
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
"Lehor":
Ciao ragazzi, ho un problemuccio con questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico $O_(xyz)$ si determini la posizione reciproca delle due rette:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):}$ $s : \{(2x - y + 3z = 0),(-y + z = 0):}$
ecco come ho fatto:
$r : \{(x - y + 2z = 0),(x + z = 0):} rArr \{(-t - y + 2t = 0),(x = -t),(z = t):} rArr \{(y = t),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec r = (-1, 1, 1)$
poi passo ad s:
$s : \{(2x - y + 3z = 5),(-y + z = 0):} rArr \{(2x - t + 3t = 5),(z = t),(y = t):} rArr \{(x = - t + 5/2),(x = -t),(z = t):}$ dunque il vettore $\vec s = (-1, 1, 1)$
A questo punto è evidente che le due rette hanno la medesima giacitura. Questo ti basta per concludere che, se le due rette non coincidono, queste hanno intersezione vuota.
"Seneca":
A questo punto è evidente che le due rette hanno la medesima giacitura. Questo ti basta per concludere che, se le due rette non coincidono, queste hanno intersezione vuota.
Grazie per la risposta Seneca
ok quindi le rette hanno la stessa giacitura e sono parallele, ma quando sono coincidenti?
poi non ho capito un'altra cosa, dal prodotto che ho fatto sopra risulta $\vec r * \vec s = 0$ ma su un testo dice che in questo caso dovrebbero essere ortogonali tra loro!
"Lehor":
[quote="Seneca"]A questo punto è evidente che le due rette hanno la medesima giacitura. Questo ti basta per concludere che, se le due rette non coincidono, queste hanno intersezione vuota.
Grazie per la risposta Seneca
ok quindi le rette hanno la stessa giacitura e sono parallele, ma quando sono coincidenti?
poi non ho capito un'altra cosa, dal prodotto che ho fatto sopra risulta $\vec r * \vec s = 0$ ma su un testo dice che in questo caso dovrebbero essere ortogonali tra loro!
[/quote]Veramente $\vec r * \vec s$ indica il prodotto scalare tra i due vettori, ed è uno scalare. Quello che hai fatto tu è il prodotto vettoriale $\vec r \times \vec s$, ed è un vettore.
Il fatto che il risultato sia il vettore nullo è evidente; $vec r$ e $vec s$ hanno la stessa direzione.
hai ragione ho corretto l'errore
dunque da quello che ho appreso è che se $\vec r = \lambda \vec s$ le rette sono tra loro parallele o coincidenti mentre se $\vec r × \vec s = 0$ sono tra loro ortogonali. E' corretto? il mio dubbio è su questo.
dunque da quello che ho appreso è che se $\vec r = \lambda \vec s$ le rette sono tra loro parallele o coincidenti mentre se $\vec r × \vec s = 0$ sono tra loro ortogonali. E' corretto? il mio dubbio è su questo.
"Lehor":
se $\vec r × \vec s = 0$ sono tra loro ortogonali. E' corretto? il mio dubbio è su questo.
Ma no... Sono ortogonali se $\vec r \cdot \vec s = 0$ (ma non è questo il caso, infatti $(-1 , 1 , 1) \cdot (-1 , 1 , 1) \ne 0$ ). $\vec r × \vec s = \vec 0$ è un altro modo per dire che le due rette sono parallele.
ok tutto chiaro finalmente, grazie mille per la sopportazione 
Guarda il mio consiglio è di studiare la matrice che ha per righe i coefficienti di x, y e z e il termine noto nelle equazioni dei quattro piani (ovvero i due che identificano la prima retta e di due che identificano la seconda), quindi in questo caso specifico la matrice : \[ A=\begin{pmatrix} 1 & -1 &2 & 0 \\ 1& 0 &1 &0 \\2 &-1&3& 0 \\0&-1&1&0\end{pmatrix} \] Studiando il rango della matrice hai diverse informazioni. Se il rango è 2, automaticamente puoi concludere che le rette sono uguali, perchè le equazioni dipendono linearmente. Se il rango è 4 concludi che sono sghembe, perché sono tutte indipendenti. Se il rango è 3 invece, devi studiare il rango della sottomatrice che ottieni togliendo i termini noti ovvero in questo caso : \[ B=\begin{pmatrix} 1 & -1 &2 \\1& 0 &1\\2 &-1&3\\0&-1&1 \end{pmatrix} \] Hai due casi...il rango di B può essere 2 e concludi che sono parallele (perché aventi la stessa giacitura) e se è 3 concludi che sono complanari e incidenti in un punto.
Con questo metodo nel caso che descrivi si vede semplicemente che il rango di A è 2 e quindi le rette coincidono.
Spero di non aver sbagliato a copiare i coefficienti
!
Con questo metodo nel caso che descrivi si vede semplicemente che il rango di A è 2 e quindi le rette coincidono.
Spero di non aver sbagliato a copiare i coefficienti
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