Posizione reciproca,distanza e proiezione

[Marxello1]

Buonasera,mi servirebbe una mano per la risoluzione di alcuni punti di un problema.
Dati due piani α:x-y-z=1 e β:x-2z=-3 ,il punto P (0,-1,5) e il vettore v (0,1,-1) determinare:

1 - posizione reciproca tra r =α intersecato β e la retta s passante per P e parallela a v
2- due punti A∈ r e B∈ s tali che d(r,s)=d(A,B)
3- distanza tra r e s
4- proiezione su r del punto Q=(-1,2,4)

Mi basterebbe capire anche solo come procedere senza calcoli
Nel primo punto r lo devo considerare come una retta in forma cartesiana oppure come un piano,mettere a sistema le quattro soluzioni(2 dei piani e 2 di s cartesiana) e calcolare il rango?

[feddy]

ciao,

1.
sicuramente l'intersezione fra due piani incidenti genera una retta.
-determina s: $ P+\lambda $
- determinare $\beta\cap\alpha$, che è la retta $r$
-verifica se i vettori della direzione di $s$ e $r$ sono proporzionali. se lo sono, allora le rette sono parallele.
-Altrimenti, metti le coordinate parametriche a sistema, se esso non risulta compatibile, allora le rette sono sghembe

$ r: { ( x=2\xi+5 ),( y=\xi ),( z=\xi+4 ):} $
$ p: { ( x=0 ),( y=-1+\lambda ),( z=5-\lambda):} $

sono sghembe

2.
tramite la formula della distanza tra due rette...imponi che sia uguale a due generici punti $A \in r$ e $B \in s$ e poi...

3. formula della distanza:

$ d(r,s) = |vec(PQ)*(vxx w)|/(||vxx w ||) $

4.
supponendo che la proiezione sia ortogonale...
- ricavo la retta q: passante per Q e con direzione perpendicolare a r , la chiamo $vec(w)$
(ovviamente mi devo ricavare la direzione perpendicolare a r, a occhio, oppure tramite prodotto scalare )
- $q\cap r$ mi fornirà il punto proiettato su r. Risolvo il sistema in coordinate parametriche e ricavo il parametro $\xi$. Lo sostituisco e avrò le coordinate del punto.

vista l'ora spero di non aver fatto pasticci... controlla con geogebra se mai