Posizione reciproca retta-piano

[enrico.bellemo]

Salve! Ho un dubbio sul come trovare tutte le rette $r$ parallele al piano $pi$, con:

$pi = -4x+z=1$


Ora nel quaderno ho scritto che, data $r: { ( alphax+betay+gammaz=delta ),( alpha'x+beta'y+gamma'z=delta' ):} $


$r$ è parallela a $pi$ $ hArr $ $rank | ( alpha , beta , gamma ),( alpha' , beta' , gamma' ),( -4 , 0 , 1 ) | = 2 $

cioè $ hArr det = 0$

Questo viene giustificato con il fatto che il vettore $(-4,0,1)$ è la giacitura del piano, che risulta così essere combinazione lineare dei vettori direttori della retta.

Il mio dubbio è: ma il vettore $(-4,0,1)$ non era quello perpendicolare al piano, per trovare la cui direzione si doveva risolvere il sistema omogeneo associato all'equazione cartesiana?

Chiedo aiuto, grazie

[coffee2]

E' un'abbreviazione: nel caso di un (iper)piano $\pi$ affine, se è definito un prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$ sottostante, si può indicare la giacitura di $\pi$ come il sottospazio $W=\langle v\rangle^{\bot}\subset V$ dei vettori ortogonali a un vettore $v$ normale al piano; per abbreviare, a volte lo stesso vettore $v$ viene chiamato giacitura di $\pi$.

[enrico.bellemo]

Ma allora perchè nella condizione di parallelismo tra $r$ e $pi$, quando si pone rango 2, viene usato $v=(-4,0,1)$ e non $v^(_|_)$? (terza riga)

[coffee2]

Quando imponi quel rango uguale a 2 stai dicendo che il sistema dato dalle equazioni cartesiane di $r$ e di $\pi$ o non ha soluzioni, e quindi $r\cap\pi$ è vuoto, oppure ha come insieme di soluzioni una retta di punti, e quindi necessariamente $r\cap\pi=r$. Geometricamente, stai imponendo che il piano $\pi$ abbia lo stesso vettore normale $v$ (e quindi la stessa giacitura $\langle v\rangle^{\bot}$) di uno dei piani passanti per $r$, dato che i vettori normali di questi piani sono le combinazioni lineari dei vettori $(\alpha,\beta,\gamma)$ e $(\alpha',\beta',\gamma')$ rispettivamente normali ai due piani di cui $r$ è intersezione.

Se vuoi lavorare direttamente con la giacitura $W=\langle v\rangle^{\bot}$ di $\pi$, allora non puoi più usare $(\alpha,\beta,\gamma)$ e $(\alpha',\beta',\gamma')$ ma devi trovare due generatori $u_1$, $u_2$ di $W$ e un vettore $u_3$ che dia la direzione di $r$ e poi imporre che $u_3$ sia nella giacitura di $\pi$, cioè $rank\{u_1,u_2,u_3\}=2$.

[enrico.bellemo]

Sei stato chiarissimo. Complimenti e grazie mille!

[coffee2]

Prego! Felice di essere stato di aiuto