Polinomio caratteristico teoria

[gian91io]

qualcuno mi saprebbe dare una formula generale per trovare il polinomio caratteristico di una matrice? (possibilmente con una spiegazione del perchè ha quella formula...)

[_prime_number]

Il polinomio caratteristico relativo alla matrice $A$ ha formula $p_A(\lambda)=det(A-\lambda I)$ dove $I$ è la matrice identità.
Possibile che non ci siano queste cose sul tuo libro o sugli appunti? E' teoria base! Io fossi in te ci riguarderei.

Paola

[gian91io]

forse mi sono spiegato male quella formula effettivamente c è ma quella formula è sempre possibile scriverla come polinomio nelle potenze decrescenti di x, come conseguenza del teorema fondamentale dell algebra (o di un suo corollario) è questo punto che non mi è chiaro...

[_prime_number]

Non mi è chiaro il tuo dubbio, mi dispiace...

Paola

[gian91io]

http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_ ... _polinomio
volevo una dimostrazione per questa formula o capire il perchè è così

[_prime_number]

Penso che sia semplicemente una conseguenza della definizione e dell'uso della regola di Laplace per calcolare il determinante. Puoi provare a dimostrarlo usando queste cose e per induzione sull'ordine della matrice $A$, ovvero prima provi che sia così per una matrice $2x2$, poi assumi che sia vero per una $nxn$ e provi a dimostrarlo per una $(n+1)x(n+1)$. Dovrebbe funzionare perché se ci pensi la regola di Laplace si basa proprio sul fatto che fissi una riga (o colonna) e poi moltiplichi ogni suo termine per un minore di ordine minore di $1$... insomma, suona un po' come l'induzione... su quel minore usi l'ipotesi induttiva.

Paola

[gian91io]

grazie mille mi sei stata utilissima!