Polinomio caratteristico e autovalori con parametro k

[ghidan]

Ciao a tutti, sto provando a trovare gli autovalori delle matrici con parametro k e la diagonale al variare di k, mi chiedevo in base a questa matrice:
k k+7 5-k
0 k+4 0
1 -2 4
ho fatto un po un casino con la tabella ma è una matrice! , comunque ho trovato gli autovalori facendo (k+4-λ)((k-λ)(4-λ) -5+k)
e ho trovato:
λ(1) = k+4
λ(2) = 0
λ(3) = k+4
(con queste informazioni so già che la matrice non è diagonalizzabile ma l'esercizio è fatto proprio per essere diagonalizzabile e trovare i valori di k per cui è diagonalizzabile)
la mia domanda è: potreste fare il calcolo del polinomio caratteristico per esteso cosi che io capisca dove ho sbagliato? perchè non penso di aver fatto bene e volevo delle conferme da voi che ne capite sicuramente piu di me, grazie dell'aiuto!.

[Fratix]

Intanto scriviamo la matrice:

$ ( ( k , k+7 , 5-k ),( 0 , k+4 , 0 ),( 1 , -2 , 4 ) ) $

Per trovare i suoi autovalori prendiamo la matrice $ (A-lambdaI) $ e ne cerchiamo il deterinante:

$ det( ( k-lambda , k+7 , 5-k ),( 0 , k+4-lambda , 0 ),( 1 , -2 , 4-lambda ) ) = $

$ = (k-lambda)(k+4-lambda)(4-lambda)-(5-k)(k+4-lambda) = $

$ = (k+4-lambda)[(k-lambda)(4-lambda)-(5-k)]= $

$ = (k+4-lambda)(lambda^2 -lambda(4+k)+5k-5) $

$ lambda=k+4 $

$ lambda= ((4-k)+-sqrt((4+k)^2-4*(5k-5)))/2 = $
$ =((4-k)+-sqrt(16+8k+k^2-20k+20))/2 $
$ =((4-k)+-sqrt((k-6)^2))/2= $

$ =((4-k)+-(k-6))/2 $ =

$ =(4-k+k-6)/2= -1, $o $(4-k-k+6)/2= 5-k $

Gli autovalori quindi risultano: $ lambda = k+4, lambda= k-1, lambda = 5 $

[ghidan]

grazie, mi sono trovato in difficoltà perchè non pensavo potessi usare b e c rispettivamente -λ(4+k) e 5k-5 per il calcolo di λ(1,2) è il primo esercizio che ho trovato con questa caratteristica, di solito si raggruppano o si fa λ(1,2) con ak^2 + bk + c per trovare λ