Polinomio caratteristico di matrice n-esima
buonanotte a tutti, purtroppo io non riesco proprio a chiudere occhio
il problema che vi chiedo di aiutarmi a risolvere è:
data una matrice $A$ di ordine $n=3$, triangolabile e diagonalizzabile, determinato il suo polinomio caratteristico $p(t)=(t-1)^3$;
la domanda è: come riesco a determinare il polinomio caratteristico di una sua potenza n-esima tipo: $A^r$ con r anche grande tipo ,15, 100, 600.
Per piccoli valori di r, posso utilizzare il teorema di Hamilton-Cayley, sostituendo al posto di t, di volta in volta la matrice $A^x$ con un polinomio che contiene la matrice a potenze minori che la descrivono...ma per grandi esponenti?
grazie mille
il problema che vi chiedo di aiutarmi a risolvere è:
data una matrice $A$ di ordine $n=3$, triangolabile e diagonalizzabile, determinato il suo polinomio caratteristico $p(t)=(t-1)^3$;
la domanda è: come riesco a determinare il polinomio caratteristico di una sua potenza n-esima tipo: $A^r$ con r anche grande tipo ,15, 100, 600.
Per piccoli valori di r, posso utilizzare il teorema di Hamilton-Cayley, sostituendo al posto di t, di volta in volta la matrice $A^x$ con un polinomio che contiene la matrice a potenze minori che la descrivono...ma per grandi esponenti?
grazie mille
Risposte
Se la matrice è diagonalizzabile non ci sono grossi problemi. Anzi, io direi che la diagonalizzazione di matrici serve proprio in casi come questo. Tu sai che $A=PDP^{-1}$ per una matrice diagonale $D$ e per una matrice invertibile $P$. Allora è facile vedere che $A^n=PD^nP^{-1}$, e in particolare:
$A^n$ è diagonalizzabile;
gli autovalori di $A^n$ sono gli autovalori di $A$ elevati a potenza $n$-esima.
Ora è chiaro quale sia il polinomio caratteristico di $A^n$.
Comunque faccio notare che nel tuo caso il problema è molto più banale. Infatti parli di matrice diagonalizzabile 3x3 avente polinomio caratteristico $(t-1)^3$, quindi l'unico autovalore $1$. L'unica matrice con queste proprietà è la matrice identica.
$A^n$ è diagonalizzabile;
gli autovalori di $A^n$ sono gli autovalori di $A$ elevati a potenza $n$-esima.
Ora è chiaro quale sia il polinomio caratteristico di $A^n$.
Comunque faccio notare che nel tuo caso il problema è molto più banale. Infatti parli di matrice diagonalizzabile 3x3 avente polinomio caratteristico $(t-1)^3$, quindi l'unico autovalore $1$. L'unica matrice con queste proprietà è la matrice identica.
Mi correggo. avevo scritto molte imprecisioni.
La matrice è: $ A=( ( 0 , -1 , 1 ),( 1 , -2 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Questa matrice ha polinomio caratteristico $p(t)=-(t+1)^3$
Questa matrice ha tre autovalori $t=-1$, è triangolabile ma non diagonalizzabile in quanto l'autospazio relativo all'autovalore $t=-1$ ha dimensione 2.
Ecco la domanda si ripropone.
ok, la matrice ha 3 autovalori (-1), quindi dato che $t^2$ è autovalore di $A^2$, se l'esponente di $A^r$, è pari il polinomio caratteristico è $p(t)=(t+1^3)$ se $r$ è dispari allora il polinomio caratteristico rimane invariato.
Giusto?
La matrice è: $ A=( ( 0 , -1 , 1 ),( 1 , -2 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Questa matrice ha polinomio caratteristico $p(t)=-(t+1)^3$
Questa matrice ha tre autovalori $t=-1$, è triangolabile ma non diagonalizzabile in quanto l'autospazio relativo all'autovalore $t=-1$ ha dimensione 2.
Ecco la domanda si ripropone.
ok, la matrice ha 3 autovalori (-1), quindi dato che $t^2$ è autovalore di $A^2$, se l'esponente di $A^r$, è pari il polinomio caratteristico è $p(t)=(t+1^3)$ se $r$ è dispari allora il polinomio caratteristico rimane invariato.
Giusto?
No: se il polinomio caratteristico di $A$ è $-(t+1)^3$ allora quello di $A^2$ è $-(t-1)^3$, quello di $A^3$ è $-(t+1)^3$ eccetera.
In generale $B$ è una matrice triangolabile sse $p_B$ si spezza in fattori lineari: $(t-lambda_1)...(t-lambda_n)$ dove $lambda_k$ sono gli autovalori. In questo caso anche le potenze di $B$ sono triangolabili e
$p_{B^h}(t)=(t-mu_1)...(t-mu_n)$ dove $mu_k$ sono gli autovalori di $B^h$. Ma d'altro canto gli autovalori di $B^h$ sono $lambda_k^h$, quindi
$p_{B^h}(t)=(t-lambda_1^h)...(t-\lambda_n^h)$.
In generale $B$ è una matrice triangolabile sse $p_B$ si spezza in fattori lineari: $(t-lambda_1)...(t-lambda_n)$ dove $lambda_k$ sono gli autovalori. In questo caso anche le potenze di $B$ sono triangolabili e
$p_{B^h}(t)=(t-mu_1)...(t-mu_n)$ dove $mu_k$ sono gli autovalori di $B^h$. Ma d'altro canto gli autovalori di $B^h$ sono $lambda_k^h$, quindi
$p_{B^h}(t)=(t-lambda_1^h)...(t-\lambda_n^h)$.
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