Polinomio caratteristico
Salve ragazzi!
Vi volevo chiedere, avendo questo polinomio caratteristico $P(lambda)=-lambda^3+3lambda^2-4lambda+2$, relativo alla matrice $((1-lambda,0,0),(3,1-lambda,-1),(0,1,1-lambda))$, è vero che ha un autovalore $lambda=1$?
Grazie!
Vi volevo chiedere, avendo questo polinomio caratteristico $P(lambda)=-lambda^3+3lambda^2-4lambda+2$, relativo alla matrice $((1-lambda,0,0),(3,1-lambda,-1),(0,1,1-lambda))$, è vero che ha un autovalore $lambda=1$?
Grazie!
Risposte
\(\displaystyle P(1) = -1+3-4+2= 0 \), quindi sì. Ti suggerisco di leggerti un po' di teoria e soprattutto il legame tra autovalori e radici del polinomio caratteristico.
Ti ho chiesto la verifica di questo polinomio perchè ho avuto problemi cn questo esercizio :
Considerato l'endomorfismo $f : R^3->R^3$ con $f(x,y,z)=(x,3x+y-z,y+z)$, calcolo autovalori e autovettori calcolando il polinomio caratteristico che ti ho citato prima, dalla matrice che rappresenta $f$ nella base canonica, con tale matrice $Af=((1,0,0),(3,1,-1),(0,1,1))$, trovando l'autovalore $lambda=1$ e il relativo autovettore $V_lambda={z/3,0,z}={1,0,3}$. In questo caso qual è la base di autovettori di $f$?
Considerato l'endomorfismo $f : R^3->R^3$ con $f(x,y,z)=(x,3x+y-z,y+z)$, calcolo autovalori e autovettori calcolando il polinomio caratteristico che ti ho citato prima, dalla matrice che rappresenta $f$ nella base canonica, con tale matrice $Af=((1,0,0),(3,1,-1),(0,1,1))$, trovando l'autovalore $lambda=1$ e il relativo autovettore $V_lambda={z/3,0,z}={1,0,3}$. In questo caso qual è la base di autovettori di $f$?
Mmm... Ma perché non calcoli anche gli altri autovalori? Ti servono per trovare la base di autovettori.
P.S. La matrice $ A=((1,0,0),(3,1,-1),(0,1,1)) $ è quella di partenza? E come hai calcolato l'autovettore?
Io so che il polinomio caratteristico \(\displaystyle P_{\phi}(X) \) di un certo endomorfismo \(\displaystyle \phi \) è uguale a \(\displaystyle \mbox{det}(X1_{n} - A) \) (ove \(\displaystyle A \) è la matrice dell'endomorfismo \(\displaystyle \phi \) in una certa base). Gli autovalori \(\displaystyle c_{i} \) sono le radici del polinomio caratteristico (controlla che appartengano al campo in cui stai lavorando, altrimenti la matrice non è eventualmente diagonalizzabile); per ricavare gli autovettori cerca basi dei nuclei delle applicazioni "identificate" dalle matrici di \(\displaystyle \phi-c_{i} \).
P.S. La matrice $ A=((1,0,0),(3,1,-1),(0,1,1)) $ è quella di partenza? E come hai calcolato l'autovettore?
Io so che il polinomio caratteristico \(\displaystyle P_{\phi}(X) \) di un certo endomorfismo \(\displaystyle \phi \) è uguale a \(\displaystyle \mbox{det}(X1_{n} - A) \) (ove \(\displaystyle A \) è la matrice dell'endomorfismo \(\displaystyle \phi \) in una certa base). Gli autovalori \(\displaystyle c_{i} \) sono le radici del polinomio caratteristico (controlla che appartengano al campo in cui stai lavorando, altrimenti la matrice non è eventualmente diagonalizzabile); per ricavare gli autovettori cerca basi dei nuclei delle applicazioni "identificate" dalle matrici di \(\displaystyle \phi-c_{i} \).
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