Polinomio caratteristico
"Sia A una matrice quadrata a valori in un campo K. Il polinomio caratteristico di A nella variabile x è il polinomio definito nel modo seguente:
P_a(x) = det (A - xI) ,
dove I è la matrice identica."
Fin qui nessun problema.
Non capisco invece in che modo si ricava la seguente forma esplicita:
$P_a(x) = (-1)^n * x^n + (-1)^(n-1) * tr(A) * x^(n-1) + ... + det(A)$
qualcuno potrebbe spiegarmelo? sembrerà una domanda banale, ma proprio non riesco a capire >.<
mi scuso per la scrittura, ma non sapevo come fare a mettere gli apici e i pedici con latex. Se non si capisce, rimando il link a wikipedia, da dove ho copiato la formula:
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
P_a(x) = det (A - xI) ,
dove I è la matrice identica."
Fin qui nessun problema.
Non capisco invece in che modo si ricava la seguente forma esplicita:
$P_a(x) = (-1)^n * x^n + (-1)^(n-1) * tr(A) * x^(n-1) + ... + det(A)$
qualcuno potrebbe spiegarmelo? sembrerà una domanda banale, ma proprio non riesco a capire >.<
mi scuso per la scrittura, ma non sapevo come fare a mettere gli apici e i pedici con latex. Se non si capisce, rimando il link a wikipedia, da dove ho copiato la formula:
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
Risposte
Ciao, se mi posso permettere ti consiglio di ignorare quella formula. La sua utilità dal punto di vista pratico è vicinissima allo zero! 
E' assolutamente inutile scomodare traccia, coefficienti binomiali, ecc per il calcolo di un determinante!
E' assolutamente inutile scomodare traccia, coefficienti binomiali, ecc per il calcolo di un determinante!
Ciao Elisa. Mi sembra che quella espressione si possa dedurre immediatamente dalle formule di Viète.
Ho letto solo ora le risposte! Scusate 
comunque penso che opterò per ignorare la formula, anche perché le formule di Viète non so cosa siano!
comunque penso che opterò per ignorare la formula, anche perché le formule di Viète non so cosa siano!
Se vuoi ancora capirlo, ti consiglio di farti dei piccoli esempi:
$((a,b),(c,d))=> |(x-a,-b),(-c,x-d)|=> (x-a)(x-d)-bc=> x^2 -(a+d)x +ad -bc$
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))=>|(x-a,-b,-c),(-d,x-e,-f),(-g,-h,x-i)|=>$
$ x^3-(a+d+i)x^2 +(- b d + a e -c g - f h + a i + e i )x -(a e i -afh -bdi +bgf +cdh -ceg)$
Come vedi, essendo la x senza coefficienti, se moltiplichi per $n-1$ volte la x e poi per un valore scalare dentro le parentesi, ottieni $x^(n-1)$ che moltiplica un elemento della diagonale principale col meno davanti. Ora se li sommiamo tutti questi elementi otteniamo la somma di tutti gli elementi sulla diagonale (traccia) cambiata di segno moltiplicata proprio per $x^(n-1)$.
Per trovare che il termine noto è il determinante, basta pensare cosa succede se metti la $x=0$ come vedi devi calcolare il determinante della matrice meno 0, quindi non è altro che il determinante della matrice
$((a,b),(c,d))=> |(x-a,-b),(-c,x-d)|=> (x-a)(x-d)-bc=> x^2 -(a+d)x +ad -bc$
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))=>|(x-a,-b,-c),(-d,x-e,-f),(-g,-h,x-i)|=>$
$ x^3-(a+d+i)x^2 +(- b d + a e -c g - f h + a i + e i )x -(a e i -afh -bdi +bgf +cdh -ceg)$
Come vedi, essendo la x senza coefficienti, se moltiplichi per $n-1$ volte la x e poi per un valore scalare dentro le parentesi, ottieni $x^(n-1)$ che moltiplica un elemento della diagonale principale col meno davanti. Ora se li sommiamo tutti questi elementi otteniamo la somma di tutti gli elementi sulla diagonale (traccia) cambiata di segno moltiplicata proprio per $x^(n-1)$.
Per trovare che il termine noto è il determinante, basta pensare cosa succede se metti la $x=0$ come vedi devi calcolare il determinante della matrice meno 0, quindi non è altro che il determinante della matrice
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo