Polinomi linearmente indipendenti
Salve a tutti,
stavo facendo un esercizio sui polinomi e non capisco come questa affermzione può essere sbagliata:
I polinomi ${(x+1)^2, (x-1)^2, (x+2)^2}$ nello spazio vettoriale P2 con grado $<=2$ sono linearmente indipendenti.
secondo me è vera perchè non c'è nessun parametro lamda che leghi i diversi polinomi
grazie a tutti
stavo facendo un esercizio sui polinomi e non capisco come questa affermzione può essere sbagliata:
I polinomi ${(x+1)^2, (x-1)^2, (x+2)^2}$ nello spazio vettoriale P2 con grado $<=2$ sono linearmente indipendenti.
secondo me è vera perchè non c'è nessun parametro lamda che leghi i diversi polinomi
grazie a tutti
Risposte
Sviluppando i quadrati e scrivendo i tre vettori nelle coordinate rispetto alla base canonica ${1,x,x^2}$ trovi:
$((1),(2),(1)),((1),(-2),(1)),((1),(4),(4))$
La matrice formata da questi tre vettori ha rango $3$, quindi sono linearmente indipendenti. Chi dice che è sbagliata?
Paola
$((1),(2),(1)),((1),(-2),(1)),((1),(4),(4))$
La matrice formata da questi tre vettori ha rango $3$, quindi sono linearmente indipendenti. Chi dice che è sbagliata?
Paola
Che vuoi dire?
Ciò che devi provare è che $p_1(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1$ , $p_2(x)=x^2-2x+1$ e $p_3(x)=x^2+4x+4$ sono linearmente indipendenti. Una possibile è quella di fissare $B={1,x,x^2}$ base del tuo spazio e determinarti la matrice associata a tali vettori rispetto a $B$ che risulta essere
$A=((1,2,1),(1,-2,1),(4,4,1))$ Ad occhio $rg(A)=3 =>$ $dim=3 $ ne segue che i vettori sono linearmente indipendenti.
Ciò che devi provare è che $p_1(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1$ , $p_2(x)=x^2-2x+1$ e $p_3(x)=x^2+4x+4$ sono linearmente indipendenti. Una possibile è quella di fissare $B={1,x,x^2}$ base del tuo spazio e determinarti la matrice associata a tali vettori rispetto a $B$ che risulta essere
$A=((1,2,1),(1,-2,1),(4,4,1))$ Ad occhio $rg(A)=3 =>$ $dim
esatto è proprio quello che mi serviva, grazie!
Sono state pubblicate le nuove soluzioni dell'esercizio ed ora risulta che sono linearmente indipendenti come giustamente avete detto voi
garzie ancora
Sono state pubblicate le nuove soluzioni dell'esercizio ed ora risulta che sono linearmente indipendenti come giustamente avete detto voi
garzie ancora
in questo caso cosa occore considerare per poter vedere se questi polinomi sono linearmente indipendenti?
${x^2-1,x^2+x,x+1,x-1}$ sempre in P2
inoltre il polinomio sopraccitato genera P2 (con grado $<=2$)
${x^2-1,x^2+x,x+1,x-1}$ sempre in P2
inoltre il polinomio sopraccitato genera P2 (con grado $<=2$)
Fai come ho fatto sopra: li metti in coordinate rispetto alla base canonica, li schiaffi come colonne (o righe) di una matrice e ne calcoli il rango. Il rango corrisponderà all'esatto numero di vettori linearmente indipendenti in quell'insieme considerato.
Paola
Paola
ah allora in questo caso avnedo dei vettori con tre componenti se li metto in forma di matrice mi da rango 3, essendo però 4 i vettori significa un vettore è linearmente dipendente? Ed inoltre generano una base in P2 perchè tre di loro sono linearmente indipendenti?
Se ti viene rango $3$ significa che hai 3 vettori linearmente indipendenti (quindi il quarto è linearmente dipendente dagli altri...tra l'altro dovevi aspettartelo essendo $dim P_2 = 3$! I suoi sottospazi avranno necessariamente dimensione al massimo $3$). Dunque l'insieme ${x^2-1, x^2+x,x+1,x-1}$ genera $P_2$ ma non può rappresentarne una base perché per definizione di base hai bisogno che i vettori siano linearmente indipendenti. Tuttavia, il passo per ottenere una base è corto: quando hai calcolato il rango hai trovato un minore non nullo di ordine $3$, giusto? Ecco, è sufficiente che tu prenda solo i vettori "coinvolti" da quel minore (avrai necessariamente lasciato fuori una riga o una colonna..ecco il vettore appartenente a quella riga o colonna non coinvolta, ignoralo). E' chiaro?
Paola
Paola
spiegazione esaustiva e molto comprensibile, grazie mille.
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