$P^n( CC ) \\ {P_0}$ è omeomorfo a $P^{n-1} (CC)$?

[angus89]

$ P^n( CC ) \\ {P_0}$ è omeomorfo a $P^{n-1} (CC)$?

A me sembrerebbe che la risposta sia si e l'argomentazione è la seguente...

$P^{n-1}(CC)$ è omeomorfo ad un iperpiano $H$ di $P^{n} (CC)$.

Sia $P_0$ il punto che togliamo da $P^n(CC)$ allora dato $P \in P^n(CC)\\{P_0}$ c'è un'unica retta che congiunge $P_0$
con $P$, chiamiamola $r$, allora $r $ interseca $H$ in un'unico punto, chiamiamolo $f(P)$.
Quindi abbiamo trovato una mappa
$f: P^n(CC)\\{P_0} -> H$
Ci sono da fare tutte le verifiche ma mi basta sapere se il tutto e vero e se l'idea per vederlo è giusta.

[j18eos]

Ma ti sembra biettiva questa funzione?

[angus89]

Si hai ragione...è una schiocchezza...non va assolutamente bene...

Oltre che la dimostrazione dovrebbe esser sbagliato l'enunciato stesso...si può solo dire che $P^n(CC)\\{P_0}$ e $P^{n-1}(CC)$
sono omotopicamente equivalenti (e di questo ne son sicuro) ma la dimostrazione è lunga e comunque è inutile farsi domande e darsi risposte...

Grazie per l'aiuto

[j18eos]

Secondo me puoi dimostrarlo o confutarlo subito utilizzando il modello della [tex]$n$[/tex]-sfera e della [tex]$(n-1)$[/tex]-sfera complessa!

Prego, di nulla!