Please dare un'occhiata.

[Principe2]

Ci è stato assegnato il seguente esercizio:

Sia X un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V e S la famiglia dei sottospazi di V contenuti in X. Dimostrare che S, ordinato con l'inclusione, ammette elementi massimali.

soluzione:
Applico il lemma di Zorn. Sia $C={W_i}_{i\inI}$ una catena di S. Definisco $W=\oplus_{i\inI}W_i$. sicuramente W maggiora per inclusione tutti gli elementi della catena C ed è uno spazio vettoriale. Resta da mostrare che è contenuto in X. (qui non sono sicuro di aver fatto bene). Sia $w\inW$, allora esiste $k$ tale che $w\inW_k\subsetX$. Quindi $W\subsetX$.

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":
Sia $C={W_i}_{i\inI}$ una catena di S. Definisco $W=\oplus_{i\inI}W_i$.

...e come definisci, di preciso, la somma di una collezione eventualmente infinita di sottospazi?!

[Principe2]

credo che mi hai fatto risolvere il dubbio... non so se lo hai fatto apposta o no... la definisco come somme finite di elementi che però scelgo nei vari sottospazi... quindi il $k$ famigerato esiste per definizione!! I think

[Sk_Anonymous]

"ubermensch":la definisco come somme finite di elementi che però scelgo nei vari sottospazi...

...immaginavo! Ma allora...

"ubermensch":Resta da mostrare che è contenuto in X. Sia $w\inW$, allora esiste $k$ tale che $w\inW_k\subsetX$. Quindi $W\subsetX$.

...questo non è vero! Semmai è vero che, per ogni $w \in W$, esistono $W_{i_1}, ..., W_{i_n}$ tali che $w \in \oplus_{k=1}^n W_{i_k}$, è ben diverso!

[Principe2]

si, ma i $W_{i_j}$ sono tutti contenuti uno dentro l'altro.. prendo il più grande $W_k$

[Sk_Anonymous]

...bene.