Pitagora e Geometria Computazionale: una formalizzazione "One-Cut" della dissezione di Perigal
Buongiorno a tutti,
vorrei sottoporre alla vostra attenzione una formalizzazione di una mia dimostrazione del teorema di Pitagora che combina:
• una dissezione classica per equidecomposizione (ad es. quella di Perigal)
• il teorema fold-and-cut di Demaine-Demaine-Lubiw
ottenendo una realizzazione in cui l’intera dissezione viene prodotta mediante un singolo taglio rettilineo su un foglio opportunamente piegato.
Preciso subito che non si tratta di una nuova equidecomposizione, ma di una dimostrazione di esistenza che mostra come qualunque dissezione poligonale finita del teorema di Pitagora possa essere compressa operativamente in un unico taglio grazie al risultato fold-and-cut.
Riporto di seguito la dimostrazione in forma completa e sintetica.
1. Principio di equidecomposizione
Due figure piane limitate A e B sono equidecomponibili se esiste una partizione finita
A = ⋃ᵢ Pᵢ
e una collezione di isometrie del piano gᵢ tali che:
B = ⋃ᵢ gᵢ(Pᵢ)
con interni disgiunti.
In tal caso:
Area(A) = Area(B).
2. Dissezione classica di Pitagora (Perigal)
Dato un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c, siano:
Qₐ, Q_b, Q_c i quadrati costruiti sui rispettivi lati.
È noto (Perigal, 1873) che esiste una dissezione poligonale finita del quadrato Q_c in un insieme di pezzi P₁,…,P₅ (un quadrato e quattro poligoni congruenti) tali che, mediante isometrie del piano, essi ricompongono esattamente l’unione:
Qₐ ∪ Q_b.
Questa dissezione è ottenuta tramite rette passanti per il centro del quadrato e parallele (e perpendicolari) all’ipotenusa del triangolo, producendo poligoni congruenti che, una volta ruotati, riempiono Q_b lasciando come regione residua Qₐ.
Ne segue immediatamente:
Area(Q_c) = Area(Qₐ) + Area(Q_b).
(Per una costruzione esplicita si veda Perigal oppure Nelsen, Proofs Without Words.)
3. Teorema fold-and-cut
(Demaine, Demaine, Lubiw, 1998)
Sia S un insieme finito di segmenti rettilinei contenuti in un poligono piano limitato.
Allora esiste una sequenza finita di pieghe del foglio tale che un unico taglio rettilineo, eseguito attraverso tutti gli strati del foglio piegato, produce dopo riapertura esattamente tutti i tagli lungo i segmenti di S.
Assumo questo risultato come noto dalla letteratura (dimostrato costruttivamente dagli autori).
4. Costruzione del pattern di taglio
Fissata una dissezione poligonale del quadrato Q_c (ad es. quella di Perigal), definiamo:
S = ⋃ᵢ (∂Pᵢ ∩ int(Q_c))
cioè l’insieme di tutti i segmenti che costituiscono i bordi interni dei pezzi della dissezione.
Poiché ciascun Pᵢ è un poligono, S è un insieme finito di segmenti rettilinei.
Per completezza, si assume che il foglio di partenza coincida con Q_c (oppure che il bordo di Q_c sia incluso nel pattern di taglio), così che i pezzi risultino fisicamente separabili.
5. Teorema principale (Pitagora one-cut)
Esiste una procedura “piega-taglia-apri” con un solo taglio rettilineo che produce esattamente i pezzi della dissezione di Q_c, i quali sono equidecomponibili all’unione Qₐ ∪ Q_b.
Dimostrazione
Per il teorema fold-and-cut applicato al pattern S, esiste una sequenza di pieghe tale che un singolo taglio realizza simultaneamente tutti i segmenti di S.
Tagliare lungo S equivale a realizzare la dissezione poligonale scelta; dopo la riapertura del foglio si ottengono quindi i pezzi P₁,…,P₅.
Per la proprietà di equidecomposizione della dissezione classica, esistono isometrie del piano che ricompongono tali pezzi nell’unione Qₐ ∪ Q_b.
Segue:
Area(Q_c) = Area(Qₐ) + Area(Q_b),
cioè:
c² = a² + b².
6. Natura esistenziale della dimostrazione
La dimostrazione non fornisce esplicitamente la sequenza delle pieghe, ma ne garantisce l’esistenza tramite il teorema fold-and-cut.
In particolare, la configurazione risultante delle pieghe può essere estremamente complessa (in generale coinvolge strutture tipo straight skeleton e numerose linee di piegatura), pur comprimendo l’operazione di taglio in un unico gesto.
La complessità algoritmica della dissezione viene quindi trasferita dalla fase di incisione alla fase di pre-elaborazione del foglio.
Dal punto di vista formale:
• ritenete corretto l’uso del teorema fold-and-cut come black box in questa dimostrazione di esistenza?
• vedete eventuali gap logici nella definizione del pattern S o nel passaggio equidecompositivo?
Ogni osservazione tecnica è benvenuta.
Grazie!
vorrei sottoporre alla vostra attenzione una formalizzazione di una mia dimostrazione del teorema di Pitagora che combina:
• una dissezione classica per equidecomposizione (ad es. quella di Perigal)
• il teorema fold-and-cut di Demaine-Demaine-Lubiw
ottenendo una realizzazione in cui l’intera dissezione viene prodotta mediante un singolo taglio rettilineo su un foglio opportunamente piegato.
Preciso subito che non si tratta di una nuova equidecomposizione, ma di una dimostrazione di esistenza che mostra come qualunque dissezione poligonale finita del teorema di Pitagora possa essere compressa operativamente in un unico taglio grazie al risultato fold-and-cut.
Riporto di seguito la dimostrazione in forma completa e sintetica.
1. Principio di equidecomposizione
Due figure piane limitate A e B sono equidecomponibili se esiste una partizione finita
A = ⋃ᵢ Pᵢ
e una collezione di isometrie del piano gᵢ tali che:
B = ⋃ᵢ gᵢ(Pᵢ)
con interni disgiunti.
In tal caso:
Area(A) = Area(B).
2. Dissezione classica di Pitagora (Perigal)
Dato un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c, siano:
Qₐ, Q_b, Q_c i quadrati costruiti sui rispettivi lati.
È noto (Perigal, 1873) che esiste una dissezione poligonale finita del quadrato Q_c in un insieme di pezzi P₁,…,P₅ (un quadrato e quattro poligoni congruenti) tali che, mediante isometrie del piano, essi ricompongono esattamente l’unione:
Qₐ ∪ Q_b.
Questa dissezione è ottenuta tramite rette passanti per il centro del quadrato e parallele (e perpendicolari) all’ipotenusa del triangolo, producendo poligoni congruenti che, una volta ruotati, riempiono Q_b lasciando come regione residua Qₐ.
Ne segue immediatamente:
Area(Q_c) = Area(Qₐ) + Area(Q_b).
(Per una costruzione esplicita si veda Perigal oppure Nelsen, Proofs Without Words.)
3. Teorema fold-and-cut
(Demaine, Demaine, Lubiw, 1998)
Sia S un insieme finito di segmenti rettilinei contenuti in un poligono piano limitato.
Allora esiste una sequenza finita di pieghe del foglio tale che un unico taglio rettilineo, eseguito attraverso tutti gli strati del foglio piegato, produce dopo riapertura esattamente tutti i tagli lungo i segmenti di S.
Assumo questo risultato come noto dalla letteratura (dimostrato costruttivamente dagli autori).
4. Costruzione del pattern di taglio
Fissata una dissezione poligonale del quadrato Q_c (ad es. quella di Perigal), definiamo:
S = ⋃ᵢ (∂Pᵢ ∩ int(Q_c))
cioè l’insieme di tutti i segmenti che costituiscono i bordi interni dei pezzi della dissezione.
Poiché ciascun Pᵢ è un poligono, S è un insieme finito di segmenti rettilinei.
Per completezza, si assume che il foglio di partenza coincida con Q_c (oppure che il bordo di Q_c sia incluso nel pattern di taglio), così che i pezzi risultino fisicamente separabili.
5. Teorema principale (Pitagora one-cut)
Esiste una procedura “piega-taglia-apri” con un solo taglio rettilineo che produce esattamente i pezzi della dissezione di Q_c, i quali sono equidecomponibili all’unione Qₐ ∪ Q_b.
Dimostrazione
Per il teorema fold-and-cut applicato al pattern S, esiste una sequenza di pieghe tale che un singolo taglio realizza simultaneamente tutti i segmenti di S.
Tagliare lungo S equivale a realizzare la dissezione poligonale scelta; dopo la riapertura del foglio si ottengono quindi i pezzi P₁,…,P₅.
Per la proprietà di equidecomposizione della dissezione classica, esistono isometrie del piano che ricompongono tali pezzi nell’unione Qₐ ∪ Q_b.
Segue:
Area(Q_c) = Area(Qₐ) + Area(Q_b),
cioè:
c² = a² + b².
6. Natura esistenziale della dimostrazione
La dimostrazione non fornisce esplicitamente la sequenza delle pieghe, ma ne garantisce l’esistenza tramite il teorema fold-and-cut.
In particolare, la configurazione risultante delle pieghe può essere estremamente complessa (in generale coinvolge strutture tipo straight skeleton e numerose linee di piegatura), pur comprimendo l’operazione di taglio in un unico gesto.
La complessità algoritmica della dissezione viene quindi trasferita dalla fase di incisione alla fase di pre-elaborazione del foglio.
Dal punto di vista formale:
• ritenete corretto l’uso del teorema fold-and-cut come black box in questa dimostrazione di esistenza?
• vedete eventuali gap logici nella definizione del pattern S o nel passaggio equidecompositivo?
Ogni osservazione tecnica è benvenuta.
Grazie!
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