Piccolo dubbio su problema di geometria dello spazio
Ho svolto un esercizio di geometria però non so se l'ho svolto correttamente e soprattutto se ho risposto alla richiesta del testo oppure ho un po' sviato...
La circonferenza nello spazio è l'intersezione fra una sfera e un piano
Ora sia la sfera che il piano devono passare per $A,B,C$ e quindi facendo un po' di conti il piano passante per questi 3 punti mi viene $x+y+z-1=0$ mentre per quanto riguarda la sfera non posso determinarne una equazione univoca conoscendo solo questi 3 punti(una sfera passa per più di 3 punti giusto?) ma posso determinare un fascio di sfere passante per 3 punti....questo fascio faceno un po' di conti viene $x^2+y^2+z^2-(x+y+z)(1+t)+t=0$
Mettendo quindi a sistema questa equazione con quella del piano trovata ho un fascio di circonferenze che passano per $A,B,C$
Ora non so secondo voi così è giusto oppure dovevo ottenere un'unica equazione di circonferenza? Il testo dice "Scrivere le equazioni cartesiane della circonferenza.
Solo che appunto poi dice della circonferenza e non delle circonferenze....
Scrivere le equazioni cartesiane della circonferenza $T$$in$$E^3$ passante per i punti $A=A(1,0,0),B=B(0,1,0),C=C(0,0,1)$
La circonferenza nello spazio è l'intersezione fra una sfera e un piano
Ora sia la sfera che il piano devono passare per $A,B,C$ e quindi facendo un po' di conti il piano passante per questi 3 punti mi viene $x+y+z-1=0$ mentre per quanto riguarda la sfera non posso determinarne una equazione univoca conoscendo solo questi 3 punti(una sfera passa per più di 3 punti giusto?) ma posso determinare un fascio di sfere passante per 3 punti....questo fascio faceno un po' di conti viene $x^2+y^2+z^2-(x+y+z)(1+t)+t=0$
Mettendo quindi a sistema questa equazione con quella del piano trovata ho un fascio di circonferenze che passano per $A,B,C$
Ora non so secondo voi così è giusto oppure dovevo ottenere un'unica equazione di circonferenza? Il testo dice "Scrivere le equazioni cartesiane della circonferenza.
Solo che appunto poi dice della circonferenza e non delle circonferenze....
Risposte
a te serve l'equazione del piano e l'equazione di una sfera che passa per quei tre punti, l'intersezione tra i due ti darà l'unica circonferenza passante per quei tre punti
ad esempio ${(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=1):}$
ad esempio ${(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=1):}$
Quindi quello che in sostanza devo fare sarebbe scegliere una delle infinite sfere che passano per quei 3 punti?
Ti basta una qualsiasi sfera passante per i tre punti e l'equazione del piano
passante per i tre punti.
Fai l'intersezione e ottieni la circonferenza.
passante per i tre punti.
Fai l'intersezione e ottieni la circonferenza.
Però non capisco come faccio ad avere l'equazione di un'unica circonferenza indipendentemente da quale sfera scelgo che passa per i 3 punti...cioè io immagino:
ho un piano e prima lo interseco con una sfera....poi con una sfera più grande....poi con un'altra ancora più grande....cioè al variare della sfera che faccio intersecare non ottengo circonferenze più grandi o più piccole?
ho un piano e prima lo interseco con una sfera....poi con una sfera più grande....poi con un'altra ancora più grande....cioè al variare della sfera che faccio intersecare non ottengo circonferenze più grandi o più piccole?
Prova a immaginare cosa accade nel piano intersecando una retta $r$ (fissa) con un fascio di circonferenze
che passano per due punti $A$ e $B$ di $r$.
Il segmento di intersezione ha sempre la stessa distanza, indipendentemente dal raggio delle
circonferenze. Anche la circonferenza con raggio 5 miliardi interseca la retta $r$ in $A$ e $B$.
che passano per due punti $A$ e $B$ di $r$.
Il segmento di intersezione ha sempre la stessa distanza, indipendentemente dal raggio delle
circonferenze. Anche la circonferenza con raggio 5 miliardi interseca la retta $r$ in $A$ e $B$.
Ahhh ok!! Sisi credo di averlo visivamente più chiaro adesso grazie! 
Chiedo solo un'ultima nozione....qual è il numero minimo di punti per definire una sfera?
Chiedo solo un'ultima nozione....qual è il numero minimo di punti per definire una sfera?
Servono 4 punti non complanari.
Ok perfetto!Vi ringrazio infinitamente!
Prego.
ma se per definire la sfera servono 4 punti, come si fa a definirla se in questo caso i punti sono solo 3?
tu hai bisogno di una sfera qualsiasi che passi per i tre punti assegnati;
poi la intersechi con il piano passante per i tre punti.
poi la intersechi con il piano passante per i tre punti.
Quindi il valore di un parametro a caso lo fisso io e gli altri 3 li trovo con i punti?
Puoi fare senza parametri.
Scegli un quarto punto che non sta sul piano individuato dai tre punti assegnati e ti
calcoli l'equazione della sfera passante per i 4 punti.
Scegli un quarto punto che non sta sul piano individuato dai tre punti assegnati e ti
calcoli l'equazione della sfera passante per i 4 punti.
Ok grazie!!!
ma se si facesse come ho detto io, ossia fisso il valore di un parametro a caso e gli altri 3 li trovo con i punti, viene comunque corretto oppure no?
ma se si facesse come ho detto io, ossia fisso il valore di un parametro a caso e gli altri 3 li trovo con i punti, viene comunque corretto oppure no?
Fai vedere con un esempio che cosa intendi per "fisso un parametro".
intendo che, se la generica equazione della sfera è $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
io fisso un parametro a caso per esempio $d=1$ ed ottengo $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+1=0$
a questo punto conoscendo $3$ punti, creo un sistema di $3$ equazioni in $3$ incognite che sono i parametri $a,b,c$ e lo risolvo.
cosa ne dici?
io fisso un parametro a caso per esempio $d=1$ ed ottengo $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+1=0$
a questo punto conoscendo $3$ punti, creo un sistema di $3$ equazioni in $3$ incognite che sono i parametri $a,b,c$ e lo risolvo.
cosa ne dici?
Può andare, però fissare un parametro può essere "pericoloso":
ad esempio, se tra i tre punti ci fosse l'origine, il sistema degli
altri parametri diventerebbe impossibile.
ad esempio, se tra i tre punti ci fosse l'origine, il sistema degli
altri parametri diventerebbe impossibile.
No beh, se tra i $3$ punti ci fosse l'origine, sostiutendo l'origine nell'equazione generica della sfera ottengo $d=0$, dunque avendo recuperato $d$, fisserei un'altro parametro ad esempio $a=1$ ed otterrei:
$x^2+y^2+z^2+x+by+cz=0$
dove ho due sole incognite $b$ e $c$ e due punti per determinarle.......giusto?
$x^2+y^2+z^2+x+by+cz=0$
dove ho due sole incognite $b$ e $c$ e due punti per determinarle.......giusto?
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