Piccolo dubbio su dimensione sottospazi vettoriali
Ciao!
volevo porvi questo quesito:
In $RR^5$ determinare una base dell'intersezione dei 2 sottospazi
$U_1 = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) : 2x_1-x_2-x_3 = 0 = x_4-3x_5}$
$U_2 = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) : 2x_1-x_2+x_3+4x_4+4x_5}$
Quello che voglio chiedervi è, ho gia trovato una base per l'intersezione, ma la dimensione della base di U1 qual'è?
1. vedendo come è fatto mi viene da dire: $\{(2x_1-x_2-x_3 = 0), (x_4-3x_5 = 0):}$ vedo subito che sono LI quindi mi viene da dire che quella è gia una base di dimensione due
2. però mettendo a matrice $((2,-1, -1, 0, 0),(0, 0, 0, 1, -3))$ vedo che il risultato è $\infty^(k-\rho) = \infty^(5-2) = 3 $ quindi la dimensione è 3.
Penso proprio che sia giusto quest'ultimo procedimento, ma perchè il primo trae in inganno? scusate la domanda è stupida
volevo porvi questo quesito:
In $RR^5$ determinare una base dell'intersezione dei 2 sottospazi
$U_1 = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) : 2x_1-x_2-x_3 = 0 = x_4-3x_5}$
$U_2 = {(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) : 2x_1-x_2+x_3+4x_4+4x_5}$
Quello che voglio chiedervi è, ho gia trovato una base per l'intersezione, ma la dimensione della base di U1 qual'è?
1. vedendo come è fatto mi viene da dire: $\{(2x_1-x_2-x_3 = 0), (x_4-3x_5 = 0):}$ vedo subito che sono LI quindi mi viene da dire che quella è gia una base di dimensione due
2. però mettendo a matrice $((2,-1, -1, 0, 0),(0, 0, 0, 1, -3))$ vedo che il risultato è $\infty^(k-\rho) = \infty^(5-2) = 3 $ quindi la dimensione è 3.
Penso proprio che sia giusto quest'ultimo procedimento, ma perchè il primo trae in inganno? scusate la domanda è stupida
Risposte
Semplicemente, non ti esprimi bene.
Oppure corri troppo e giungi a conclusioni affrettate.
Tu dici "Vedo subito che sono linearmente indipendenti". Ma chi?
Presumo le righe della matrice dei coefficienti del sistema. E questo è vero.
Ma poi continui dicendo "quella è una base di dimensione due". E qui l'hai sparata grossa.
Chi è una base? Quali sono i vettori? Certamente non le righe dei coefficienti del sistema che ovviamente non sono certo soluzioni del sistema!
Oppure corri troppo e giungi a conclusioni affrettate.
"devian":
1. vedendo come è fatto mi viene da dire: $\{(2x_1-x_2-x_3 = 0), (x_4-3x_5 = 0):}$ vedo subito che sono LI quindi mi viene da dire che quella è gia una base di dimensione due
Tu dici "Vedo subito che sono linearmente indipendenti". Ma chi?
Presumo le righe della matrice dei coefficienti del sistema. E questo è vero.
Ma poi continui dicendo "quella è una base di dimensione due". E qui l'hai sparata grossa.
Chi è una base? Quali sono i vettori? Certamente non le righe dei coefficienti del sistema che ovviamente non sono certo soluzioni del sistema!
@m4551: si quel procedimento lo avevo fatto, una base per l'intersecazione l'avevo già trovata. A me serve trovare la base dei U1, anche se nel problema non c'è scritto.
@cirasa: rileggendo il tuo messaggio ho capito di aver studiato troppo velocemente e che è meglio che vada a ripassare ancora un po..
dimmi se questo procedimento è giusto per trovare una base per U1:
$\{(2x_1-x_2-x_3 = 0), (x_4-3x_5 = 0):} \{(x_2 = 2x_1 - x_3), (x_4 = 3x_5):}; $
$ x_1 = t, x_3 = s, x_5 = r ; U_1= {(t, 2t -s, s, 3r, r) : t, s, r in RR}; $
$ t(1, 2, 0, 0, 0) + s(0, -1, 1, 0, 0) +r(0, 0, 0, 3, 1);$
$ L{(1, 2, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 3, 1) }$
quindi $dim(U_1) = 3 $
spero di non aver fatto altri errori
@cirasa: rileggendo il tuo messaggio ho capito di aver studiato troppo velocemente e che è meglio che vada a ripassare ancora un po..
dimmi se questo procedimento è giusto per trovare una base per U1:
$\{(2x_1-x_2-x_3 = 0), (x_4-3x_5 = 0):} \{(x_2 = 2x_1 - x_3), (x_4 = 3x_5):}; $
$ x_1 = t, x_3 = s, x_5 = r ; U_1= {(t, 2t -s, s, 3r, r) : t, s, r in RR}; $
$ t(1, 2, 0, 0, 0) + s(0, -1, 1, 0, 0) +r(0, 0, 0, 3, 1);$
$ L{(1, 2, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 3, 1) }$
quindi $dim(U_1) = 3 $
spero di non aver fatto altri errori
Ok. La risoluzione è giusta!
grazie! volevo chiederti un'altra cosa visto che sei cosi gentile
EDIT: non so perchè ma con firefox non riesco a visualizzare quello che ho scritto qua sotto, con chrome invece si... bho
se io sono in $ RR^n $ ho queste possibilità
- se ho un sottospazio $ V : dim(V) = n rArr V sube RR^n , V -= RR^n $
- se ho due sottospazi $ V, U : dim(U+V) = n rArr U+V -= RR^n$ oppure se $dim(VnnU) = n rArr U -= V rArr U -= RR^n $
in questo ultimo caso vorrebbe dire che, per Grassmann -> $ dim(U+V) = dim(U) +dim(V) -dim(UnnV)$, cioè $6 = 6 +6 -6$ o no?
ovvero, la dimensione massima ovviamente non può mai superare la dimensione del nostro campo giusto?
quindi se la dimensione è minore, V è solo un sottospazio proprio di R,
se è maggiore significa per forza che c'è dipendenza lineare tra i vettori
se = n, e sono LI e generatori, significa che coincide con R,
giusto? o sto dicendo un'altra mia cavolata?
EDIT: non so perchè ma con firefox non riesco a visualizzare quello che ho scritto qua sotto, con chrome invece si... bho
se io sono in $ RR^n $ ho queste possibilità
- se ho un sottospazio $ V : dim(V) = n rArr V sube RR^n , V -= RR^n $
- se ho due sottospazi $ V, U : dim(U+V) = n rArr U+V -= RR^n$ oppure se $dim(VnnU) = n rArr U -= V rArr U -= RR^n $
in questo ultimo caso vorrebbe dire che, per Grassmann -> $ dim(U+V) = dim(U) +dim(V) -dim(UnnV)$, cioè $6 = 6 +6 -6$ o no?
ovvero, la dimensione massima ovviamente non può mai superare la dimensione del nostro campo giusto?
quindi se la dimensione è minore, V è solo un sottospazio proprio di R,
se è maggiore significa per forza che c'è dipendenza lineare tra i vettori
se = n, e sono LI e generatori, significa che coincide con R,
giusto? o sto dicendo un'altra mia cavolata?
Ti sei espresso abbastanza male, ma credo che tu abbia afferrato il concetto.
Il concetto-base è che, se hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ (come per esempio $RR^n$), i suoi sottospazi possono avere dimensione al più $n$ (quindi $leq n$)
Inoltre, se questa dimensione è esattamente $n$, allora questo sottospazio coincide con tutto $V$.
Correggo ora il modo in cui ti sei espresso. Scusami se sono un po' pignolo.
A parte la parola "campo" da sostituire con spazio vettoriale, tutto ok.
La dimensione del sottospazio non può essere maggiore di $n$.
Se è esattamente uguale a $n$ (dove $n$ è la dimensione dell'intero spazio), i vettori della base di questo sottospazio sono linearmente indipendenti (in quanto vettori di una base) e generano l'intero spazio.
Dunque il sottospazio in realtà coincide con tutto lo spazio.
Spero di aver compreso la domanda e aver fugato i tuoi dubbi.
Ciao!
P.S. A proposito delle formule, è un problema del browser, come hai già notato.
Se ne stava già parlando. La maggior parte delle volte, aggiornando la pagina, il problema va via.
Ultimamente sto usando Firefox sotto Linux e non mi dà problemi.
Il concetto-base è che, se hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ (come per esempio $RR^n$), i suoi sottospazi possono avere dimensione al più $n$ (quindi $leq n$)
Inoltre, se questa dimensione è esattamente $n$, allora questo sottospazio coincide con tutto $V$.
Correggo ora il modo in cui ti sei espresso. Scusami se sono un po' pignolo.
"devian":
ovvero, la dimensione massima ovviamente non può mai superare la dimensione massima del nostro campo giusto?
quindi se la dimensione è minore, V è solo un sottospazio proprio di R,
A parte la parola "campo" da sostituire con spazio vettoriale, tutto ok.
"devian":
se è maggiore significa per forza che c'è dipendenza lineare tra i vettori
se = n, e sono LI e generatori, significa che coincide con R,
giusto? o sto dicendo un'altra mia cavolata?
La dimensione del sottospazio non può essere maggiore di $n$.
Se è esattamente uguale a $n$ (dove $n$ è la dimensione dell'intero spazio), i vettori della base di questo sottospazio sono linearmente indipendenti (in quanto vettori di una base) e generano l'intero spazio.
Dunque il sottospazio in realtà coincide con tutto lo spazio.
Spero di aver compreso la domanda e aver fugato i tuoi dubbi.
Ciao!
P.S. A proposito delle formule, è un problema del browser, come hai già notato.
Se ne stava già parlando. La maggior parte delle volte, aggiornando la pagina, il problema va via.
Ultimamente sto usando Firefox sotto Linux e non mi dà problemi.
ti ringrazio sei stato gentilissimo!!
cirasa scusami per il disturbo ma leggendo volevo chiderti una cosa,
per esempio un sottospazio di $r^3$ può essere $<(1,1,1),(1,4,3)>$ oppure $<(1,1,1)(2,2,2)(3,9,5)>$
Mentre invece un sotottospazio che coicide con TUTTO $r^3$ può essere per esempio $<(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)>$
Fammi sapere se ho detto qualche cavolta!
GRazie per l'attenzione
per esempio un sottospazio di $r^3$ può essere $<(1,1,1),(1,4,3)>$ oppure $<(1,1,1)(2,2,2)(3,9,5)>$
Mentre invece un sotottospazio che coicide con TUTTO $r^3$ può essere per esempio $<(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)>$
Fammi sapere se ho detto qualche cavolta!
GRazie per l'attenzione
@m4551: Ok, tutto giusto. I primi due sono sottospazi propri (non coincidono con l'intero spazio, in quanto hanno dimensione $2$). Il secondo è espresso mediante suoi generatori che non sono tutti linearmente indipendenti fra loro. Il terzo coincide con tutto $RR^3$.
grazie 1000 cirasa questo posto mi è stato molto utile! adesso ho meno confusione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo