Piccolo dubbio riguardo il ker di un'applicazione lineare

[merolla.mr]

Salve, ho un piccolissimo dubbio, è una sciocchezza ma è meglio che me lo tolga, se trovo che il ker di un'applicazione lineare si riduce al vettore nullo, allora il ker non ammette basi e ha dimensione pari a 0? è corretta come risposta ad un'eventuale domanda d'esame?

[21zuclo]

ti scrivo la definizione di $Ker(f)$

Se $f\in Hom(V,W)$, il nucleo $Ker(f)={ul(v)\in V t.c. f(\ul(v))=0_(W)}$

ora ti scrivo l'esempio che ha fatto il mio esercitatore..

$f\in End(RR^3)$ lineare $ f((x),(y),(z))=((x-y),(x+2y+z),(3y+z)) $

ecco il $Ker(f)$ è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $ {(x-y=0),(x+2y+z=0),(3y+z=0):} $

[merolla.mr]

Questo lo sapevo, se l'insieme delle soluzioni però si limita al vettore nullo (0,0,0) allora il ker non ammette basi ?

[21zuclo]

esatto! perchè, come uno spazio vettoriale (che il Ker è un sottospazio vettoriale). In generale se V consiste nel solo elemento $0$, allora V non ha basi e diciamo che V ha dimensione zero

stessa cosa riguarda anche per il $Ker$

[merolla.mr]

Ottimo grazie! ah, un'altra cosa rivedendo la tua definizione volevo sapere se in sostanza per trovare una base del ker basta trovare una base per lo spazio delle soluzioni di quel sistema è corretto?

[garnak.olegovitc1]

Salve merolla.mr,

"merolla.mr":Salve, ho un piccolissimo dubbio, è una sciocchezza ma è meglio che me lo tolga, se trovo che il ker di un'applicazione lineare si riduce al vettore nullo, allora il ker non ammette basi e ha dimensione pari a 0? è corretta come risposta ad un'eventuale domanda d'esame?

sisi è corretta... sia data \( f \in Hom_k(w,v) \), prova a dire che \( dim_k(ker(f)) \neq 0 \), ove \( ker(f)=\{0_w\} \), allora esiste una base, ovvero un sistema di vettori che genera \( ker(f) \) ed i cui vettori sono liberi su \(k \), ovviamente non nulli, ma non può essere perchè il \( ker(f) \) è il singoletto del vettore nullo...

Saluti

P.S.= Puoi vedere il \( ker(f) \) come la controimmagine di \( 0_v \).. alle volte è più utile, punti di vista ovviamente!