Piccola incertezza su calcolo base ortonormale

[ellecomelupo]

Buonasera a tutti!

Vorrei chiedervi aiuto per sciogliere un dubbio che mi sta affliggendo!
Il problema è questo :

Sia dato il prodotto scalare canonico su $ R^3 $ e W il sottospazio di $ R^3 $ di equazioni cartesiane :

$ W:( ( 1 , -1,0 ),( 0,0 , 1) )*((x),(y),(z))=((0),(0)) $

Determinare una base di $ R^3 $ ortonormale rispetto al prodotto scalare che contenga un vettore di W.
Ho seguito tale procedimento :

1)Ho trovato una base di W ortogonale al prodotto scalare tale $ B=(1,1,0) $
2) potrei prendere una base qualunque e trovare che sia ortonormale utilizzando Gram-Sh?nel senso che con questo trovo che sia ortogonale e poi la normalizzo?

E che esca del tipo B''=(B,B') con B'=base ortogonale appena trovata

Grazie in anticipo!

[Sk_Anonymous]

Un vettore di W già normalizzato può essere questo :
$1/{sqrt2}(1,1,0)^t$
Ora si può partire, ad esempio, dalla base di $mathbb{R^3}$ data da :
${1/{sqrt2}(1,1,0)^t,(0,1,0)^t,(0,0,1)^t}$
Applicando il metodo Gram-Schmidt ottieni la base ortonormale richiesta:
${1/{sqrt2}(1,1,0)^t,1/{\sqrt2}(-1,1,0)^t,(0,0,1)^t}$
P.S. Il simbolo $()^t$ indica che i vettori vanno letti in verticale. Inoltre si può facilmente verificare che i vettori :
$1/{sqrt2}(1,1,0)^t,(0,1,0)^t,(0,0,1)^t$
sono lin.ind. e quindi formano effettivamente una base di $\mathbb{R^3}$

[ellecomelupo]

grazie!

Dunque il mio ragionamento era errato?Cioè non posso eseguire in quel modo il calcolo?