Piano Tangente

[A.l.e.c.s]

Determinare nello spazio euclideo l’equazione del piano tangente alla sfera \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 − 4y − 7z − 25 = 0 \) nel punto \(\displaystyle A(−5, 0, 0) \)

qulcuno mi potrebbe spiegare come dovrei impostare questo esercizio, con il metodo che uso io non riesco a trovarmi i requisiti necessari per trovarmi il piano....Io ho pensato di risolverlo nel seguente modo : visto che il punto \(\displaystyle A \) appartiene alla sfera trovandomi il centro della sfera che sarebbe \(\displaystyle C = (0 , 2 , \frac{7}{2}) \) mi potrei trovare il vettore direzione del segmento che unisce il punto di tangenza con il centro della sfera..ovvero la direzione del raggio in quel punto...che sarebbe \(\displaystyle v= (-5 , -2 , \frac{-7}{2}) \)..poi mi trovo il vettore direzione \(\displaystyle \perp \) a \(\displaystyle v \)...ma da qui non riesco ad andare avanti..perchè mi servirebbe un'altra direzione per poter trovare il piano più il punto per cui dovrebbe passare ma quest'ultimo è dato dal problema perciò mi rimane solo di trovare l'altra direzione..che non so come impostarla..

[mistake89]

Considera la retta $[C,A]$. Il piano che cerchi è il piano perpendicolare a questa retta che passa per $A$.
Costruiscilo in maniera geometrica e non avrai problemi.

[totissimus]

L'equazione del piano tangente alla sfera \( x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) nel suo punto \( P(x_0,y_0,z_0) \) si può scrivere come (regola di sdoppiamento)
\( x_0x+y_0y+x_0z+a(x+x_0)+b(y+y_0)+c(y+y_0)+d=0\)

[A.l.e.c.s]

Grazie per le risposte...ho provato a risolverlo attraverso il metodo di mistake89 considerando la retta \(\displaystyle CA \) visto che era la strada che ho preso all'inizio..allora considerando la retta \(\displaystyle CA \) questa è formata da due piani, prendendo i vettori normali dei due piani che la compongono questi descrivono un piano perpendicolare alla retta stessa perciò li potrei usare come le direzioni che mi servono e imporre il passaggio per il punto \(\displaystyle A \) trovando così il piano che mi servirebbe...è giusto il passaggio? il metodo dello sdoppiamento è molto immediato..non lo conoscevo..ma si chiama proprio "Metodo dello sdoppiamento" oppure dovrei cercarlo con un'altro titolo..perchè mi interesserebbe conoscerlo meglio...