Piano proiettivo e intersezioni con la retta impropria

[mklplo751]

Salve, oggi, a Geometria 1, abbiamo introdotto l'ampliamento proiettivo e l'ampliamento complesso del piano e abbiamo incominciato a vedere i primissimi risultati. Dopo la lezione, ci stavamo confrontando tra compagni (ovviamente a distanza) ed è uscito il dubbio se una curva chiusa (piana) potesse intersecare la retta impropria. Il dubbio è nato sulla considerazione che nel piano proiettivo reale, un'ellisse non interseca la retta. Io avevo pensato che se ci troviamo nel piano proiettivo complesso, allora certamente ogni curva algebrica intersecherà la retta impropria (per Bezout) e ipotizzo che ciò avvenga per ogni curva piana per via della chiusura algebrica dei complessi. Ora, un'altra cosa che mi sembra di aver notato è che se la curva algebrica chiusa ha per rappresentazione analitica (nel piano affine) un polinomio con ogni monomio dello stesso grado e di grado pari, allora dovrebbe succedere una cosa analoga all'ellisse. Tuttavia tutte queste cose non so nè se sono corrette, nè come dimostrarle se fossero vere, nè se sono dimostrabili con gli strumenti del primo anno. Scusate se il messaggio e lungo, tuttavia, se non vi dispiace, potreste togliermi questi dubbi?

[mklplo751]

Bene! Grazie di tutto, veramente.
Comunque non vedo l'ora fra qualche anno di capirci meglio di tutto ciò...anche perchè Topologia mi interessa particolarmente.