Piano proiettivo e intersezioni con la retta impropria
Salve, oggi, a Geometria 1, abbiamo introdotto l'ampliamento proiettivo e l'ampliamento complesso del piano e abbiamo incominciato a vedere i primissimi risultati. Dopo la lezione, ci stavamo confrontando tra compagni (ovviamente a distanza) ed è uscito il dubbio se una curva chiusa (piana) potesse intersecare la retta impropria. Il dubbio è nato sulla considerazione che nel piano proiettivo reale, un'ellisse non interseca la retta. Io avevo pensato che se ci troviamo nel piano proiettivo complesso, allora certamente ogni curva algebrica intersecherà la retta impropria (per Bezout) e ipotizzo che ciò avvenga per ogni curva piana per via della chiusura algebrica dei complessi. Ora, un'altra cosa che mi sembra di aver notato è che se la curva algebrica chiusa ha per rappresentazione analitica (nel piano affine) un polinomio con ogni monomio dello stesso grado e di grado pari, allora dovrebbe succedere una cosa analoga all'ellisse. Tuttavia tutte queste cose non so nè se sono corrette, nè come dimostrarle se fossero vere, nè se sono dimostrabili con gli strumenti del primo anno. Scusate se il messaggio e lungo, tuttavia, se non vi dispiace, potreste togliermi questi dubbi?
Risposte
L'intersezione di una conica con la retta impropria è sempre data da due rette (stai cercando di risolvere un sistema fatto da due equazioni: una quadratica, l'altra lineare). A seconda del campo dove ti trovi (finito, razionale, reale, complesso, o altro) e delle proprietà di chiusura algebrica di questo campo, queste rette saranno presenti o meno. Ad esempio, la circonferenza
\[X_0^2+X_1^2+X_2^2 = 0\] interseca la retta all'infinito reale nel vuoto proiettivo, ma non appena interpreti quella come una curva complessa le cose cambiano.
\[X_0^2+X_1^2+X_2^2 = 0\] interseca la retta all'infinito reale nel vuoto proiettivo, ma non appena interpreti quella come una curva complessa le cose cambiano.
Grazie per aver risposto. Allora, il vuoto proiettivo, non l'abbiamo definito e quindi penso che il prof lo consideri semplicemente come intersezione vuota. Dunque, comunque il dubbio mi rimane: nel caso reale esiste una curva chiusa (algebrica) che interseca effettivamente la retta impropria? E' vero che nel piano proiettivo complesso l'intersezione con la retta impropria è sempre non vuota?
@fulcanelli: hai scritto "rette" invece di "punti".
@mklplo: certo, ad esempio $x^2-y^2-z^2=0$ interseca la retta $z=0$ in 2 punti reali distinti. Devi pensare che nel piano proiettivo nessuna retta è "speciale". Questo significa che comunque fissi una retta, puoi trovare un sistema di coordinate in cui quella diventa la retta impropria. Per cui prendi la tua conica preferita, prendi una retta che la interseca e chiama quella retta impropria.
Inoltre, c'è il teorema di Bezout che ti assicura che se prendi due curve di grado $e_1,e_2$ nel piano proiettivo complesso, la loro intersezione ha esattamente $e_1e_2$ punti, contati con molteplicità. Quindi nel piano proiettivo una retta interseca una conica in 2 punti, sempre. Il punto è che se sei in $\mathbb R$ potresti non vederli.
@mklplo: certo, ad esempio $x^2-y^2-z^2=0$ interseca la retta $z=0$ in 2 punti reali distinti. Devi pensare che nel piano proiettivo nessuna retta è "speciale". Questo significa che comunque fissi una retta, puoi trovare un sistema di coordinate in cui quella diventa la retta impropria. Per cui prendi la tua conica preferita, prendi una retta che la interseca e chiama quella retta impropria.
Inoltre, c'è il teorema di Bezout che ti assicura che se prendi due curve di grado $e_1,e_2$ nel piano proiettivo complesso, la loro intersezione ha esattamente $e_1e_2$ punti, contati con molteplicità. Quindi nel piano proiettivo una retta interseca una conica in 2 punti, sempre. Il punto è che se sei in $\mathbb R$ potresti non vederli.
@hydro:grazie anche a te per aver risposto. Per quanto riguarda la curva, non mi sembra chiusa nel piano affine (forse dovevo precisare questa cosa).
"mklplo":
@hydro:grazie anche a te per aver risposto. Allora, per quanto riguarda la curva, non mi sembra chiusa nel piano affine (forse dovevo precisare questa cosa).
Le coniche sono decisamente chiuse nel piano affine, sia rispetto alla topologia euclidea sia rispetto a quella di Zariski. Tutte le curve algebriche lo sono, perchè sono preimmagini di un chiuso, ovvero $\{0\}$, tramite una funzione continua (o in generale sono unioni finite di chiusi).
Aspetta...forse intendiamo chiuso in due sensi diversi...mi riferivo a curve come circonferenze, ellissi, lemniscate, cioè curve che se le vado a parametrizzare avranno che il punto iniziale e finale coincidono, stiamo infatti comunque parlando di concetti di Geometria 1. Poi ovviamente se intendiamo chiusi nel senso topologico allora il discorso cambia (tra l'altro bello il fatto sulla topologia di Zariski).
Heh, perché pensavo alle quadriche.
"mklplo":
Aspetta...forse intendiamo chiuso in due sensi diversi...mi riferivo a curve come circonferenze, ellissi, lemniscate, cioè curve che se le vado a parametrizzare avranno che il punto iniziale e finale coincidono, stiamo infatti comunque parlando di concetti di Geometria 1. Poi ovviamente se intendiamo chiusi nel senso topologico allora il discorso cambia (tra l'altro bello il fatto sulla topologia di Zariski, non pensavo che in spazi non di Hausdorff succedesse qualcosa del genere).
Capisco ma le domande devono essere precise. Dacci la tua definizione di curva chiusa, altrimenti è difficile rispondere...
Ok, scusate l'imprecisione. Allora non abbiamo una definizione di curva chiusa, semplicemente era una domanda dettata dall'intuizione più ingenua...Comunque, volendo provare a definirla in questo momento, penso che uno possa considerare una curva piana chiusa come un insieme dei punti del piano affine tale che sia il bordo (rispetto alla topologia euclidea) di un sottoinsieme limitato (rispetto alla metrica euclidea) di $RR^2$. Non so se sia corretto, come ho detto, era appunto una domanda abbastanza ingenua, semplicemente nata da un'osservazione sull'ellisse. Altro modo con cui forse potremmo definire curva chiusa è una curva tale che se integro una forma differenziale esatta su di essa devo avere come risultato 0...altri modi non mi vengono.
Ci tengo però a precisare nuovamente che la domanda nasce da considerazioni intuitive e non formali.
Ci tengo però a precisare nuovamente che la domanda nasce da considerazioni intuitive e non formali.
"mklplo":
Ok, scusate l'imprecisione. Allora non abbiamo una definizione di curva chiusa, semplicemente era una domanda dettata dall'intuizione più ingenua...Comunque, volendo provare a definirla in questo momento, penso che uno possa considerare una curva piana chiusa come un insieme dei punti del piano affine tale che sia il bordo (rispetto alla topologia euclidea) di un sottoinsieme limitato (rispetto alla metrica euclidea) di $RR^2$. Non so se sia corretto, come ho detto, era appunto una domanda abbastanza ingenua, semplicemente nata da un'osservazione sull'ellisse. Altro modo con cui forse potremmo definire curva chiusa è una curva tale che se integro una forma differenziale esatta su di essa devo avere come risultato 0...altri modi non mi vengono.
Non è una definizione banale. Il bordo di un insieme limitato può anche essere una cosa bidimensionale dal punto di vista topologico. Ad esempio il quadrato $[0,1]\times [0,1]$ è il bordo di un insieme limitato. Puoi chiedere che sia il bordo di un aperto limitato, ma lì ti troveresti i frattali che sono cose che moralmente stanno tra le curve e le superfici. Comunque mi sembra che il tuo claim sia " se ho un sottoinsieme limitato di $\mathbb A^2$ allora la sua chiusura in $\mathbb P^2$ non interseca la retta impropria", il che è decisamente vero visto che i punti della retta impropria sono arbitrariamente distanti da qualsiasi chiuso limitato di $\mathbb A^2$.
@hydro, ok grazie, quindi nel caso reale ciò è vero, mentre per il caso complesso vale quanto detto prima su Bezout, giusto? Cioè mentre nel piano proiettivo reale esistono punti arbitrariamente distanti dalla retta impropria nel piano proiettivo complesso, poichè due curve algebriche si intersecano sempre, la distanza dovrebbe essere sempre nulla, giusto? Inoltre questo discorso vale anche per curve non algebriche?
L'argomento di sopra ovviamente vale anche in $\mathbb C$, ma nessuna curva algebrica è un insieme limitato in $\mathbb A^2(\mathbb C)$ con la sua topologia euclidea. Se per curve intendi varietà olomorfe di dimensione 1, allora nulla cambia perchè il lemma di Chow dice che le sottovarietà complesse di $\mathbb P^n(\mathbb C)$ sono algebriche. Se intendi altro, allora tutto puo' succedere, a seconda della definizione di curva che usi.
@hydro: grazie nuovamente. Per curva intendo l'insieme dei punti tali che risultano essere gli zeri di una funzione non identicamente nulla in due variabili complesse sul campo dei numeri complessi.
In tal caso tutto può succedere. Per esempio $e^x=0$ non ha punti in $\mathbb A^2(\mathbb C)$.
Quindi si devono necessariamente richiedere ipotesi extra, inoltre considerando che i teoremi che citavi comunque richiedono qualcosa di abbastanza forte (come l'essere olomorfa) non penso che se considero una funzione generica non identicamente nulla di due variabili sul piano complesso tale che l'insieme dei suoi zeri è di cardinalità del continuo, ciò basti a dire che la curva corrispondente abbia intersezione non vuota con la retta impropria, giusto?
Scusami ho risposto senza pensarci. La verità è che la tua domanda è malposta. Cosa vuol dire che il luogo degli zeri di una funzione $\mathbb C^2\to \mathbb C$ non interseca la retta impropria? E' ovvio che non la intersechi, visto che la retta impropria non vive proprio in $\mathbb C^2$. Per curve algebriche sottointendiamo il procedimento di fondo: si omogenizza il polinomio rispetto ad una nuova variabile e si ottiene una varietà proiettiva, ma questo processo in generale non ha proprio significato. Rimane vero quello che ti dicevo sopra, ovvero che le sottovarietà complesse degli spazi proiettivi sono algebriche.
Se invece vuoi sapere se gli insiemi di livello di una funzione olomorfa $\mathbb C^2\to \mathbb C$ possano avere la cardinalità del continuo ed essere limitati, a naso direi di no ma non ne ho idea. Sicuramente qualcuno con un po' più di nozioni di analisi di me, il che è molto facile, ti saprà rispondere.
Se invece vuoi sapere se gli insiemi di livello di una funzione olomorfa $\mathbb C^2\to \mathbb C$ possano avere la cardinalità del continuo ed essere limitati, a naso direi di no ma non ne ho idea. Sicuramente qualcuno con un po' più di nozioni di analisi di me, il che è molto facile, ti saprà rispondere.
Ah, ok, grazie di tutto, veramente, e scusa la terribile confusione, solo che è un concetto introdotto oggi e un po' di confusione c'è. Ripensando a come il professore ha definito tutto in primis dice che una curva è l'insieme dei punti in un piano affine euclideo tali che una funzione non identicamente nulla si azzera in corrispondenza delle coppie associate a questi punti, poi dice di aggiungere (sì fa letteralmente l'unione) all'insieme dei punti reali quelli complessi e dice che questo nuovo spazio è isomorfo al prodotto cartesiono di $CC$ con sè. Poi prende l'insieme di tutte le rette in questo piano complesso e quozienta rispetto alla relazione di parallelismo, infine fa l'unione tra l'insieme ottenuto e il piano complesso e lo chiama piano proiettivo complesso. Fatto ciò ci dice che ogni elemento corrisponderà a una classe di equivalenza di $CC^3$ rispetto alla relazione di equivalenza secondo cui due terne sono in relazione se e solo se sono proporzionali con un fattore non nullo. Ora la retta impropria è l'insieme dei punti in cui la terza coordinata è nulla e almeno uno delle altre due è non nulla. Ora se almeno uno di questi punti corrisponde a una terna tale per cui la funzione che si ottiene "omogeneizzando" la funzione di partenza si azzera in corrispondenza di questa terna allora la curva intersecherà la retta impropria. Però da quello che dici mi sembra di capire che non si può sempre "omogeneizzare" una funzione, giusto? Ovvero se io prendessi $e^x-e^y=1$ non si può fare $e^(x_1/x_3)-e^(x_2/x_3)=1$ perchè poi avrei un problema abbastanza grande nel porre $x_3=0$ giusto?
Perchè per rendere sensato quest'ultimo passaggio la funzione dovrebbe essere omogenea e inoltre non presentare singolarità, giusto?
p.s:scusa le tante domande
Perchè per rendere sensato quest'ultimo passaggio la funzione dovrebbe essere omogenea e inoltre non presentare singolarità, giusto?
p.s:scusa le tante domande
Ma che casìno! 
Non voglio allargare la discussione sulle funzioni omogenee, dato che dovremmo metterci d'accordo su come le si voglia definire...
E dato che stiamo parlando di Geoemtria 1, e non di Topologia Algebrica 1: penso che per curva dovremmo intendere l'insiemi dei punti di \(\displaystyle\mathbb{A}^2_{\mathbb{K}}\) che annullanno un polinomio (non nullo) di due variabili ed a valori nel campo \(\displaystyle\mathbb{K}\).
Estendendo al piano proiettivo ed assumendo di lavorare col campo dei numeri complessi (ma più in generale va bene un campo algebricamente chiuso), si ha per il teorema di Bézout che una tale curva interseca una qualsiasi retta!
O se preferiamo: nel piano proiettivo complesso due curve, per come definite di sopra, non sono mai disgiunte!
Va bene così?
Ovviamente: il teorema di Bézout non è di facile dimostrazione!
Non dovrebbe essere difficile, ma al momento non ricordo come dimostrarlo...
Non voglio allargare la discussione sulle funzioni omogenee, dato che dovremmo metterci d'accordo su come le si voglia definire...
E dato che stiamo parlando di Geoemtria 1, e non di Topologia Algebrica 1: penso che per curva dovremmo intendere l'insiemi dei punti di \(\displaystyle\mathbb{A}^2_{\mathbb{K}}\) che annullanno un polinomio (non nullo) di due variabili ed a valori nel campo \(\displaystyle\mathbb{K}\).
Estendendo al piano proiettivo ed assumendo di lavorare col campo dei numeri complessi (ma più in generale va bene un campo algebricamente chiuso), si ha per il teorema di Bézout che una tale curva interseca una qualsiasi retta!
O se preferiamo: nel piano proiettivo complesso due curve, per come definite di sopra, non sono mai disgiunte!
Va bene così?
Ovviamente: il teorema di Bézout non è di facile dimostrazione!
"hydro":Tali funzioni, essendo olomorfe, hanno fibre compatte (in quanto le anti-immagini dei punti sono sempre chiusi), e si può dimostrare che sono per di più insiemi finiti!
[...] Se invece vuoi sapere se gli insiemi di livello di una funzione olomorfa $\mathbb C^2\to \mathbb C$ possano avere la cardinalità del continuo ed essere limitati, a naso direi di no ma non ne ho idea. Sicuramente qualcuno con un po' più di nozioni di analisi di me, il che è molto facile, ti saprà rispondere.
Non dovrebbe essere difficile, ma al momento non ricordo come dimostrarlo...
Effettivamente la conversazione ha toccato non pochi argomenti al di là di Geometria 1...Grazie ad entrambi per essere intervenuti e scusate le domande frequenti e spesso imprecise. Comunque, in sintesi, seppur si possano definire curve in caso più generale, ed effettivamente il professore lo ha fatto, quando si fa riferimento al piano proiettivo conviene limitarsi al caso dell'insieme dei punti che annullano un polinomio per poter lavorare con tranquillità, poi in questo caso, per quello detto prima, quelle che intuitivamente sarebbero curve chiuse nel piano affine hanno chiusura proiettiva che non interseca la retta impropria. Ciò può avvenire nel caso reale e non nel caso complesso (ovvero non esistono in tal caso curve chiuse in quel senso). Per quanto riguarda l'estendere il concetto di curva al piano proiettivo richiede cose che non sono di Geometria 1. Ho riassunto bene?
"mklplo":Esatto: nel caso reale, esistono curve proiettive (piane e reali) che non si intersecano!
...quelle che intuitivamente sarebbero curve chiuse nel piano affine hanno chiusura proiettiva che non interseca la retta impropria. Ciò può avvenire nel caso reale e non nel caso complesso (ovvero non esistono in tal caso curve chiuse in quel senso)[...]
"mklplo":Mi sembra di sì!
[...] Ho riassunto bene?
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