Piano passante per una retta e perpendicolare/parallelo a un piano.
Salve a tutti. Sono nuovo nel forum.
Ho difficoltà a risolvere questi due tipi di esercizi.
Nello spazio sono dati il punto A ≡ (1, 0, 1), il piano p) x−y = 0 e la retta r) z = x+2 = 0.
Determinare:
a) la distanza di A da r;
b) il simmetrico di A rispetto a p;
c) il piano passante per r e perpendicolare a p.
Per i primi due punti sono ok, ma per il terzo qualcuno potrebbe postare i passaggi?
Stessa cosa qui.
Nello spazio sono dati il punto A ≡ (1,0,−1), il piano p) x−y+1 = 0 e la retta r) x = 2y − z = 0. Determinare:
a) la distanza di A da r;
b) le coordinate del punto simmetrico di A rispetto ad p;
c) l’equazione del piano passante per r e parallelo ad p.
Stessa cosa qui.
Vi ringrazio anticipatamente. Spero in una risposta chiara, passaggio per passaggio (dato che domani ho il compito).
Complimenti per il forum e il sito che è stato molto utile a tutti (compreso me) per lo studio di esercizi del genere.
Ho difficoltà a risolvere questi due tipi di esercizi.
Nello spazio sono dati il punto A ≡ (1, 0, 1), il piano p) x−y = 0 e la retta r) z = x+2 = 0.
Determinare:
a) la distanza di A da r;
b) il simmetrico di A rispetto a p;
c) il piano passante per r e perpendicolare a p.
Per i primi due punti sono ok, ma per il terzo qualcuno potrebbe postare i passaggi?
Stessa cosa qui.
Nello spazio sono dati il punto A ≡ (1,0,−1), il piano p) x−y+1 = 0 e la retta r) x = 2y − z = 0. Determinare:
a) la distanza di A da r;
b) le coordinate del punto simmetrico di A rispetto ad p;
c) l’equazione del piano passante per r e parallelo ad p.
Stessa cosa qui.
Vi ringrazio anticipatamente. Spero in una risposta chiara, passaggio per passaggio (dato che domani ho il compito).
Complimenti per il forum e il sito che è stato molto utile a tutti (compreso me) per lo studio di esercizi del genere.
Risposte
ciao
prima di tutto bisogna scrivere l'equazione del fascio di piani passanti per $r$
$lambda(x+2)+muz=0$,cioè
$lambdax+muz+2lambda=0$
prendiamo il piano $pi) x-y=0$
affinchè il generico piano del fascio sia ortogonale a $pi$,deve aversi
$(lambda,0,mu) cdot (1-1,0)=0$
cioè $lambda=0$
il piano cercato ha equazione $z=0$
per il secondo esercizio stesso ragionamento,imponendo la condizione di parallelismo tra piani
prima di tutto bisogna scrivere l'equazione del fascio di piani passanti per $r$
$lambda(x+2)+muz=0$,cioè
$lambdax+muz+2lambda=0$
prendiamo il piano $pi) x-y=0$
affinchè il generico piano del fascio sia ortogonale a $pi$,deve aversi
$(lambda,0,mu) cdot (1-1,0)=0$
cioè $lambda=0$
il piano cercato ha equazione $z=0$
per il secondo esercizio stesso ragionamento,imponendo la condizione di parallelismo tra piani
Ti ringrazio per la risposta.
La condizione di parallelismo come la applico?
Il mio ragionamento è quello di scrivere l'equazione generale di tutti i piani paralleli per il piano. Ovvero x−y + K = 0.
e impongo il passaggio per la retta r sostituendo x, y, z con il vettore direttore della retta.
Una volta trovato K ho sostituito il valore nell'equazione generica. E' giusto il ragionamento?
Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità. Utilissimo!
La condizione di parallelismo come la applico?
Il mio ragionamento è quello di scrivere l'equazione generale di tutti i piani paralleli per il piano. Ovvero x−y + K = 0.
e impongo il passaggio per la retta r sostituendo x, y, z con il vettore direttore della retta.
Una volta trovato K ho sostituito il valore nell'equazione generica. E' giusto il ragionamento?
Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità. Utilissimo!
il problema è che siccome si parla di piano passante per r,io l'avrei interpretato come nel primo esercizio,cioè r tutta contenuta nel piano
però quando si usa il fascio di piani
$lambdax+mu(2y-z)=0$
$lambdax+2muy-muz=0$
si vede che la condizione di parallelismo non può essere soddisfatta
allora bisogna interpretare la domanda come "piano che interseca r",cioè come hai fatto tu
solo che in questo caso il problema ha infinite soluzioni perchè ,dato il piano $x-y+k=0$,$k$ può assumere qualsiasi valore, a seconda del punto in cui il piano interseca r
però quando si usa il fascio di piani
$lambdax+mu(2y-z)=0$
$lambdax+2muy-muz=0$
si vede che la condizione di parallelismo non può essere soddisfatta
allora bisogna interpretare la domanda come "piano che interseca r",cioè come hai fatto tu
solo che in questo caso il problema ha infinite soluzioni perchè ,dato il piano $x-y+k=0$,$k$ può assumere qualsiasi valore, a seconda del punto in cui il piano interseca r
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