Piano passante per P e perpendicolare ad una retta
Salve a tutti.
Volevo farvi vedere lo svolgimento di questo esercizio:
Trovare l'equazione cartesiana del piano passante per $Q=(0,1,-1)$ e perpendicolare alla retta di equaizoni parametriche
$r= \{(x=1+t),(y=1-t),(z=2t):}$.
Ho provato a svolgerlo portando l'equazione della retta in forma vettoriale del tipo $X=P+TA$ dove $P=(1,1,0)$ e $A=(1,-1,2)$. A questo punto calcolo il vettore $N=A-P=(0,2,-2)$ che giace nella retta considerata.
Ora posso calcolare l'equazione del piano imponendo la condizione $(X-Q)N=0$* da cui, con qualche calcolo, ottengo $y-z=2$ che dovrebbe essere l'equazione cartesiana del piano cercato.
* Non ho ben capito come mai posso usare questa formula per trovare l'equazione di un piano passante per $Q$ e perpendicolare a $N$ (capisco che si imposti la condizione di perpendicolarità ma non capisco perchè quel piano debba necessariamente passare per $Q$).
N.B: Sono le prime volte che affronto questi argomenti quindi chiedo venia nel caso (del tutto probabile) avessi scritto qualche abominio nelle righe sopra. Grazie a tutti in anticipo
Volevo farvi vedere lo svolgimento di questo esercizio:
Trovare l'equazione cartesiana del piano passante per $Q=(0,1,-1)$ e perpendicolare alla retta di equaizoni parametriche
$r= \{(x=1+t),(y=1-t),(z=2t):}$.
Ho provato a svolgerlo portando l'equazione della retta in forma vettoriale del tipo $X=P+TA$ dove $P=(1,1,0)$ e $A=(1,-1,2)$. A questo punto calcolo il vettore $N=A-P=(0,2,-2)$ che giace nella retta considerata.
Ora posso calcolare l'equazione del piano imponendo la condizione $(X-Q)N=0$* da cui, con qualche calcolo, ottengo $y-z=2$ che dovrebbe essere l'equazione cartesiana del piano cercato.
* Non ho ben capito come mai posso usare questa formula per trovare l'equazione di un piano passante per $Q$ e perpendicolare a $N$ (capisco che si imposti la condizione di perpendicolarità ma non capisco perchè quel piano debba necessariamente passare per $Q$).
N.B: Sono le prime volte che affronto questi argomenti quindi chiedo venia nel caso (del tutto probabile) avessi scritto qualche abominio nelle righe sopra. Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Semplicemente perchè, quando $X=Q$, l'equazione del piano è soddisfatta.
Io ti direi di procedere in questo modo , parecchio veloce : trovi la terna di direttori della retta a tal punto trovi i parametri direttori del piano attraverso una coppia di vettori che sia ortogonale ai direttori della retta ; ad esempio questo passaggio puoi risolverlo prendendo un generico vettore (x,y,z) e poni il prodotto scalare tra questo vettore generico e la terna di direttori della retta , ottieni la condizione per cui trovare la coppia di direttori del piano . A tal punto hai la doppia terna di direttori per il piano il punto per cui passa , dunque ti costruisci il piano siffatto dallo sviluppo del determinante :
$ | ( 0 , 1 , -1 ),( l , m , n ),( bar (l) , bar (m) , bar (n) ) | =0 $
in cui la seconda e terza riga contengono la doppia terna di direttori del piano !
$ | ( 0 , 1 , -1 ),( l , m , n ),( bar (l) , bar (m) , bar (n) ) | =0 $
in cui la seconda e terza riga contengono la doppia terna di direttori del piano !
La retta è parallela al vettore $\mathbf{v}=(1,-1,2)$. Stiamo cercando un piano perpendicolare a $\mathbf{v}$ e quindi sicuramente sarà della forma $x-y+2z+k=0$ (questo è di fatto un fascio di piani paralleli, tutti ortogonali al vettore considerato). Imponiamo il passaggio per il punto $Q$ e il gioco è fatto.
Vi torna?
Vi torna?
Ho risolto l'esercizio cosi:
con i primi passaggi del mio primo post trovo il vettore $A(1,-1,2)$ che mi dà la direzione della retta. Ora per trovare l'equzione del piano (di un piano) passante per P e perpendicolare alla retta è sufficiente che consideri il vettore generico $X(x,y,z)$ e che imponga la condizione $(X-P)A=0$. In pochi calcoli si arriva alla soluzione.
con i primi passaggi del mio primo post trovo il vettore $A(1,-1,2)$ che mi dà la direzione della retta. Ora per trovare l'equzione del piano (di un piano) passante per P e perpendicolare alla retta è sufficiente che consideri il vettore generico $X(x,y,z)$ e che imponga la condizione $(X-P)A=0$. In pochi calcoli si arriva alla soluzione.
Si , paolo , in tal modo ci si evita anche la bega dei direttori del piano e ci si semplifica di parecchio la vita dovendo imporre solo il passaggio per il punto in questione !
"Paolo90":
La retta è parallela al vettore $\mathbf{v}=(1,-1,2)$. Stiamo cercando un piano perpendicolare a $\mathbf{v}$ e quindi sicuramente sarà della forma $x-y+2z+k=0$ (questo è di fatto un fascio di piani paralleli, tutti ortogonali al vettore considerato). Imponiamo il passaggio per il punto $Q$ e il gioco è fatto.
Vi torna?
qualcuno mi spiega per favore questo passaggio?
cioè se io ho $ax+by+cz+d=0$ il piano che devo trovare e ho un vettore $ (l,m,n)$
perche il piano $lx+my+nz+d=0$ è ortogonale al vettore?
Il piano di equazione $ax+by+cz=0$ è ortogonale al vettore $(a,b,c)$: questo ti è chiaro? Infatti, l'equazione del piano si può scrivere come $(x,y,z)\cdot(a,b,c) =0$.
L'aggiunta del termine noto è ininfluente (trasla solo il piano). Più chiaro ora?
L'aggiunta del termine noto è ininfluente (trasla solo il piano). Più chiaro ora?
ecco mi sfuggiva che il vettore fosse parallelo al piano
adesso è tutto chiaro grazie
adesso è tutto chiaro grazie
Immagino volessi scrivere "perpendicolare". In ogni caso, prego figurati. 
si, ho sbagliato a scrivere 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo