Piano passante per due punti e parallelo ad una retta
Ciao a tutti,
nonostante abbia cercato e letto già altri post sull'argomento, non ho capito se la risoluzione del problema in oggetto mi è chiara.
Allora io ho due punti A(1,2,-1) e B(0,0,3) e la retta g di equaz. parametriche $\{(x=t),(y=-3t),(z=2t):}$ devo trovare l'equazione del piano passante per i due punti A e B e parallelo alla retta g.
Allora, se ho capito bene il piano richiesto è quello contenente la retta AB e parallelo a g?
Io ho trovato la retta $AB =\{(x=1+(0-1)t),(y=2+(0-3)t),(z=-1+(3+1)t):}$ cioè $\{(x=1-t),(y=2-3t),(z=-1+4t):}$
Fatto questo, so quindi il vettore direzione di AB che è uguale a $ upsilon_(AB) = (-1,-3,4)$ e quello di g è uguale a $ upsilon_(g) = (1,-3,2)$ avendo così almeno un punto appartenente al piano A(1,2,-1) (oppure posso prendere B) e due vettori direzione, linearmente indipendenti, che mi permettono di scrivere le equazioni parametriche del piano:
$\{(x=x_A+ alpha upsilon_(AB,1)+ beta upsilon_(g,1)) ,(y=y_A+ alpha upsilon_(AB,2)+ beta upsilon_(g,2)),(z=z_A+ alpha upsilon_(AB,3)+ beta upsilon_(g,3)):} rArr \{(x=1-alpha+ beta) ,(y=2-3alpha-3beta),(z=-1+4alpha+2beta ):} $
Da quest' ultima posso ricavarmi l'equazione cartesiana procedendo per sostituzione; cioè ricavando $ alpha $ e $ beta $.
è giusto il procedimento oppure ho toppato completamente?? c'è un metodo più veloce (semplice)??
grazie anticipatamente
nonostante abbia cercato e letto già altri post sull'argomento, non ho capito se la risoluzione del problema in oggetto mi è chiara.
Allora io ho due punti A(1,2,-1) e B(0,0,3) e la retta g di equaz. parametriche $\{(x=t),(y=-3t),(z=2t):}$ devo trovare l'equazione del piano passante per i due punti A e B e parallelo alla retta g.
Allora, se ho capito bene il piano richiesto è quello contenente la retta AB e parallelo a g?
Io ho trovato la retta $AB =\{(x=1+(0-1)t),(y=2+(0-3)t),(z=-1+(3+1)t):}$ cioè $\{(x=1-t),(y=2-3t),(z=-1+4t):}$
Fatto questo, so quindi il vettore direzione di AB che è uguale a $ upsilon_(AB) = (-1,-3,4)$ e quello di g è uguale a $ upsilon_(g) = (1,-3,2)$ avendo così almeno un punto appartenente al piano A(1,2,-1) (oppure posso prendere B) e due vettori direzione, linearmente indipendenti, che mi permettono di scrivere le equazioni parametriche del piano:
$\{(x=x_A+ alpha upsilon_(AB,1)+ beta upsilon_(g,1)) ,(y=y_A+ alpha upsilon_(AB,2)+ beta upsilon_(g,2)),(z=z_A+ alpha upsilon_(AB,3)+ beta upsilon_(g,3)):} rArr \{(x=1-alpha+ beta) ,(y=2-3alpha-3beta),(z=-1+4alpha+2beta ):} $
Da quest' ultima posso ricavarmi l'equazione cartesiana procedendo per sostituzione; cioè ricavando $ alpha $ e $ beta $.
è giusto il procedimento oppure ho toppato completamente?? c'è un metodo più veloce (semplice)??
grazie anticipatamente
Risposte
Il procedimento è giusto ma c'è un errore nei calcoli in quanto il vettore $v_{AB}$ non è $(-1,-3,4)$ ma $(-1,-2,4)$
Un'alternativa meno "calcolosa" ( ma concettualmente equivalente al tuo sviluppo) può essere la seguente.
Il vettore $v_n=(a,b,c)$, normale al piano $alpha $ richiesto, deve essere ortogonale a $v_{AB}$ in quanto quest'ultimo vettore appartiene ad $alpha$ ed è anche ortogonale alla retta g in quanto quest'ultima retta è per ipotesi parallela ad $ alpha$. Ne segue il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} -a-2b+4c=0\\a-3b+2c=0\end{cases} \)
Come è noto un sistema omogeneo di tal fatta ( 2 equazioni con 3 incognite) ha come soluzioni valori proporzionali al determinante dei minori, presi con segno alterno, ottenuti cancellando una colonna per volta dalla matrice dei coefficienti del sistema. Tal matrice nel caso nostro è :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-2&4\\1&-3&2\end{pmatrix} \)
da cui :
\(\displaystyle a=det \begin{pmatrix}-2&4\\-3&2\end{pmatrix}=8, b=-det \begin{pmatrix}-1&4\\1&2\end{pmatrix}=6,c=det \begin{pmatrix}-1&-2\\1&-3\end{pmatrix}=5 \)
Imponendo il passaggio per il punto B ( o per il punto A) si ottiene l'equazione :
$8(x-0)+6(y-0)+5(z-3)=0$ ovvero $8x+6y+5z=15$ che è l'equazione richiesta.
Un'alternativa meno "calcolosa" ( ma concettualmente equivalente al tuo sviluppo) può essere la seguente.
Il vettore $v_n=(a,b,c)$, normale al piano $alpha $ richiesto, deve essere ortogonale a $v_{AB}$ in quanto quest'ultimo vettore appartiene ad $alpha$ ed è anche ortogonale alla retta g in quanto quest'ultima retta è per ipotesi parallela ad $ alpha$. Ne segue il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} -a-2b+4c=0\\a-3b+2c=0\end{cases} \)
Come è noto un sistema omogeneo di tal fatta ( 2 equazioni con 3 incognite) ha come soluzioni valori proporzionali al determinante dei minori, presi con segno alterno, ottenuti cancellando una colonna per volta dalla matrice dei coefficienti del sistema. Tal matrice nel caso nostro è :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-1&-2&4\\1&-3&2\end{pmatrix} \)
da cui :
\(\displaystyle a=det \begin{pmatrix}-2&4\\-3&2\end{pmatrix}=8, b=-det \begin{pmatrix}-1&4\\1&2\end{pmatrix}=6,c=det \begin{pmatrix}-1&-2\\1&-3\end{pmatrix}=5 \)
Imponendo il passaggio per il punto B ( o per il punto A) si ottiene l'equazione :
$8(x-0)+6(y-0)+5(z-3)=0$ ovvero $8x+6y+5z=15$ che è l'equazione richiesta.
"ciromario":
Il procedimento è giusto ma c'è un errore nei calcoli in quanto il vettore $v_{AB}$ non è $(-1,-3,4)$ ma $(-1,-2,4)$
Verò, non me ne ero accorto
.Grazie per la risposta e per il metodo alternativo che effettivamente è molto meno laborioso.
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