Piano passante per 3 punti
Salve a tutti,come faccio a trovare l equazione cartesiana di un piano passante per 3 punti dati ?
thx
thx
Risposte
Imponi la condizione di passaggio e metti
a sistema le tre relazioni trovate. Non
preoccuparti se verrà un sistema di 3
equazioni in 4 incognite...
a sistema le tre relazioni trovate. Non
preoccuparti se verrà un sistema di 3
equazioni in 4 incognite...
Oppure puoi fare queste considerazioni :
se i punti sono $A (x_A,y_A,z_A) ; B (x_B,y_B,z_B) ; C(x_C,y_C,z_C)$ considera il generico punto del piano di cui devi trovare l'equazione , sia P(x,y,z).
Considera poi i vettori :
$AP = (x -x_A,y-y_A,z-z_A) ; AC = ( x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A) ; AB = ( x_B -x_A, y_B-y_A, z_B-z_A) $ che saranno complanari.
Di conseguenza il prodotto misto dei vettori AP, AC, AB deve valere 0 .
Quindi l'equazione che determina il piano è : $ AB x AC $ vett $AB = 0 $.
Ricordando che il prodotto misto si può calcolare con un determinante del terzo ordine ( se le componenti dei vettori sono espresse tramite una base ortonormale ) , l'equazione del piano diventa :
det $[ (x-x_A,y-y_A,z-z_A),(x_C-x_A,y_C-y_A, z_C-z_A),(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)] = 0 $.
Basta inserire i valori numerici e sviluppare il determinante per ottenere l'equazione del piano
se i punti sono $A (x_A,y_A,z_A) ; B (x_B,y_B,z_B) ; C(x_C,y_C,z_C)$ considera il generico punto del piano di cui devi trovare l'equazione , sia P(x,y,z).
Considera poi i vettori :
$AP = (x -x_A,y-y_A,z-z_A) ; AC = ( x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A) ; AB = ( x_B -x_A, y_B-y_A, z_B-z_A) $ che saranno complanari.
Di conseguenza il prodotto misto dei vettori AP, AC, AB deve valere 0 .
Quindi l'equazione che determina il piano è : $ AB x AC $ vett $AB = 0 $.
Ricordando che il prodotto misto si può calcolare con un determinante del terzo ordine ( se le componenti dei vettori sono espresse tramite una base ortonormale ) , l'equazione del piano diventa :
det $[ (x-x_A,y-y_A,z-z_A),(x_C-x_A,y_C-y_A, z_C-z_A),(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)] = 0 $.
Basta inserire i valori numerici e sviluppare il determinante per ottenere l'equazione del piano
esattto anch'io la sapevo come camillo. solo che non ne spevo il motivo, sapevo solo la formula.
"giacor86":
esattto anch'io la sapevo come camillo. solo che non ne spevo il motivo, sapevo solo la formula.
La spiegazione può essere questa:
se guardi le righe della matrice di Camillo le puoi interpretare come le componenti di tre vettori tutti con coda in A.
Il primo è un generico vettore dello spazio gli altri due sono due vettori noti (AB e AC).
Imporre il determinate nullo equivale a imporre che le righe della matrice siano linearmente dipendenti: nel caso specifico che la prima sia combinazione lineare delle altre due. Poichè la combinazione lieneare di AB e BC genera tutti e soli i vettori appartenenti al piano per ABC ...
ciao
La matrice e il valore del determinante uguale a 0 si possono leggere come :
* i vettori AP, AC, AB sono linearmente dipendenti e quindi complanari, come dice Mirco59 .
* il prodotto misto dei vettori AP, AC, AB (APxAC vett AB) è nullo e quindi i vettori AP, AC , AB sono complanari, come indicavo nel mio post.
Due condizioni differenti portano a scrivere la stessa matrice.
* i vettori AP, AC, AB sono linearmente dipendenti e quindi complanari, come dice Mirco59 .
* il prodotto misto dei vettori AP, AC, AB (APxAC vett AB) è nullo e quindi i vettori AP, AC , AB sono complanari, come indicavo nel mio post.
Due condizioni differenti portano a scrivere la stessa matrice.
Ma siete tutti fissati con questo metodo?
Il mio vi fa schifo? Forse è troppo ovvio,
stupido e meccanico...
:D:D:D:D
Il mio vi fa schifo? Forse è troppo ovvio,
stupido e meccanico...
:D:D:D:D
No, non fa schifo , il tuo è il più spontaneo e naturale ; l'altro è solo meno elementare .
, il tuo è il più spontaneo e naturale ; l'altro è solo meno elementare .
Forse il metodo dei vettori e' piu' elegante ma convengo con fireball
che anche l'altro metodo ha i suoi pregi (tra cui quello della semplicita').
In definitiva se $ax+by+cz+d=0$ e' l'equazione del generico piano,
imponendo il passaggio per A,B e C si ha :
$((ax+by+cz+d=0),(ax_A+by_A+cz_A+d=0),(ax_B+by_B+cz_B+d=0),(ax_C+by_C+cz_C+d=0))$
che rappresenta un sistema omogeneo di 4 equazioni nelle incognite a,b,c,d.
Com'e' noto affinche' esso sistema abbia soluzioni non nulle occorre e basta
che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite.
E cioe':
$((x,y,z,1), (x_A,y_A,z_A,1) , (x_B,y_B,z_B,1), (x_C,y_C,z_C,1))=0$
che e' poi equivalente al risultato di fireball.
Archimede
che anche l'altro metodo ha i suoi pregi (tra cui quello della semplicita').
In definitiva se $ax+by+cz+d=0$ e' l'equazione del generico piano,
imponendo il passaggio per A,B e C si ha :
$((ax+by+cz+d=0),(ax_A+by_A+cz_A+d=0),(ax_B+by_B+cz_B+d=0),(ax_C+by_C+cz_C+d=0))$
che rappresenta un sistema omogeneo di 4 equazioni nelle incognite a,b,c,d.
Com'e' noto affinche' esso sistema abbia soluzioni non nulle occorre e basta
che sia nullo il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite.
E cioe':
$((x,y,z,1), (x_A,y_A,z_A,1) , (x_B,y_B,z_B,1), (x_C,y_C,z_C,1))=0$
che e' poi equivalente al risultato di fireball.
Archimede
"fireball":
Ma siete tutti fissati con questo metodo?
Il mio vi fa schifo? Forse è troppo ovvio,
stupido e meccanico...
Figurati! I due metodi sono assolutamente equivalenti. Diciamo che quello di Camillo fornisce la soluzione in modo più immediato, cioè, in un certo senso, è la formula risolvente del tuo metodo.
ciao
PS: non accosterei i termini stupido e meccanico: quasi tutti i meccanismi richiedono una notevole intelligenza per essere compresi, pensa per idearli! E poi, considera la citazione sotto la mia firma.
Che dice Federico di questi differenti metodi di soluzione del problema ?
"camillo":
Che dice Federico di questi differenti metodi di soluzione del problema ?
che il tuo metodo è piu veloce,thx ^^
un altra domanda,
se io ho questo sistema lineare:
2x1+3x2-1x3+x4=1
x1+x2+x3=2
3x1+4ax2+ax4=3
ax1+2x2-2x3+x4=-a
e mi viene chiesto di determinare per quali valori di a ( appartenente ai reali ) il sistema lineare rappresenta un piano di A^4(IR).
come faccio a rispondere alla domanda?
thx
se io ho questo sistema lineare:
2x1+3x2-1x3+x4=1
x1+x2+x3=2
3x1+4ax2+ax4=3
ax1+2x2-2x3+x4=-a
e mi viene chiesto di determinare per quali valori di a ( appartenente ai reali ) il sistema lineare rappresenta un piano di A^4(IR).
come faccio a rispondere alla domanda?
thx
E'un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.
Perchè il sistema rappresenti un piano bisogna che abbia $oo^2$ soluzioni ... tanti quanti sono i punti di un piano.
Il rango della matrice dei coefficienti deve essere allora 2 e lo stesso deve valere per il rango della matrice completa ( coefficienti + termine noto ) .
Si vede che se a =1 allora la terza equazione è = alla somma della prima e della seconda e la quarta equazione è uguale alla differenza tra la prima e la quarta equazione .
Il sistema è quindi equivalente a quello formato dalle prime due equazioni , ha $ oo^2$ soluzioni e quindi rappresenta un piano .
Perchè il sistema rappresenti un piano bisogna che abbia $oo^2$ soluzioni ... tanti quanti sono i punti di un piano.
Il rango della matrice dei coefficienti deve essere allora 2 e lo stesso deve valere per il rango della matrice completa ( coefficienti + termine noto ) .
Si vede che se a =1 allora la terza equazione è = alla somma della prima e della seconda e la quarta equazione è uguale alla differenza tra la prima e la quarta equazione .
Il sistema è quindi equivalente a quello formato dalle prime due equazioni , ha $ oo^2$ soluzioni e quindi rappresenta un piano .
grazie 
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