Piano ortogonale al vettore ed equidistante da due punti

aleas-votailprof
salve, ho questo esercizio e volevo sapere come procedere per risolverlo magari quali sono i passaggi :)

determinare l'equazione del piano ortogonale al vettore (1,2,3) ed equidistante dai punti (5,7,-7) e (-1,-1,-1)

Risposte
Sk_Anonymous
E' un esercizio facile, ma un po' noioso. Allora, tutti e soli i piani perpendicolari a $((1),(2),(3))$ hanno giacitura $x+2y+3z=0$. Quindi il piano da ricercare è nella forma $x+2y+3z+a'=0$, con $a'\in RR$. Adesso devi solo applicare due volte questa formula (se ti va, prova a dimostrarla) e risolvere la relativa equazione.

$d(\pi,P)=(|ax_P+by_p+cz_P+d|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$, dove $pi:ax+by+cz+d=0$ e $P=((x_P),(y_P),(z_P))$.

adaBTTLS1
scusate, io questo tipo di esercizio non lo faccio da una vita, ma chiedo una cosa puramente geometrica: un piano equidistante da due punti, a meno che non sia parallelo alla retta passante per i due punti, non deve necessariamente passare per il punto medio del segmento avente per estremi i due punti?

aleas-votailprof
secondo me, è equidistante dalla retta che determinano, dal grafico mi sembra cosi.. sbaglio?

adaBTTLS1
piano equidistante da una retta ... intendi dire che sono paralleli?

aleas-votailprof
si paralleli scusa.. non sono stato molto chiaro.

aleas-votailprof
ho fatto il grafico con cabri..anche sponstando il piano si sia sopra che sotto al vettore è sempre parallelo alla retta determinata dai due punti.. ma per ortogonale s'intende applicato all'origine del vettore o è indifferente???

adaBTTLS1
il piano che devi cercare deve essere perpendicolare al vettore. se è parallelo alla retta, anche la retta dovrebbe essere perpendicolare al vettore, o sbaglio?
lo è? ma in questo caso quanti piani risponderebbero alla domanda del problema?

a me non sembra che la retta sia né parallela né perpendicolare al vettore. in questo secondo caso,
se ti trovi le coordinate del punto medio e le sostituisci all'equazione generica del piano scritta da matths87, dovresti ricavarti facilmente $a'=4$.

prova e facci sapere. ciao.

adaBTTLS1
"aleas":
ho fatto il grafico con cabri..anche sponstando il piano si sia sopra che sotto al vettore è sempre parallelo alla retta determinata dai due punti.. ma per ortogonale s'intende applicato all'origine del vettore o è indifferente???

che io sappia, si intende un qualsiasi piano perpendicolare alla retta individuata dal vettore.

aleas-votailprof
mi viene il denominatore radice di 14 è giusto?

aleas-votailprof
non capisco dove sbaglio ma a 4 non c'arrivo proprio :smt010

adaBTTLS1
è giusto $sqrt(14)$, con il "metodo lungo". comunque portalo e avanti e confrontiamo i risultati, eventualmente possono venir fuori errori di "distrazione".
io ti posso dire che, da non esperta dell'argomento, ho preso per buona l'equazione scritta da matths87 (x+2y+3z+a'=0) ed ho trovato il punto medio del segmento avente per estremi i due punti: (2;3;-4) . ho sostituito i valori all'equazione ottenendo $2+2*3+3*(-4)+a'=0$ ed ho ricavato a'=4.

aleas-votailprof
io ottengo i seguenti valori -2/$sqrt(14)$ ; -6/$sqrt(14)$ ; che devo fare ora?

adaBTTLS1
ma tu hai fatto sparire l'incognita!
devi uguagliare $|-2+a'|/sqrt14=|-6+a'|/sqrt14$
dunque $a'-2=+-(a'-6) -> { ( a'-2=a'-6, " impossibile" ) vv ( a'-2=-a'+6 ->2a'=8 ->a'=4 ) }$
spero sia chiaro.

aleas-votailprof
dimenticavo "a'" ora è tutto chiaro tranne una, $sqrt(14)$ che fine fa? grazie un infinità :-D

adaBTTLS1
prego!
come che fine fa? hai due frazioni con lo stesso denominatore che devono essere uguali ... vuol dire che sono uguali i numeratori ...
non hai mai risolto un'equazione con le frazioni?

aleas-votailprof
questo non lo ricordavo, ho ripreso a fare matematica dopo parecchio tempo, e ho dovuto fare tutto il programma in due mesi e alcune lacune mi sono rimaste ovviamente...ma gli esercizi servono a questo per chiarire... giorno 1 ho lo scritto, sulle funzioni, sistemi lineari, geometria e integrali, cmq mi cerco sempre gli esercizi più facili..tanto per capire il procedimento..

adaBTTLS1
comunque $sqrt14$ si elimina grazie al secondo principio di equivalenza delle equazioni: se si moltiplicano (o dividono) entrambi i membri per una stessa quantità diversa da zero, l'equazione è equivalente alla precedente.
in bocca al lupo per l'esame!
che tipo di esame è: immagino "istituzioni di matematica" o simili... in quale corso di laurea?

aleas-votailprof
si è istituzioni di matematica.. sono iscritto in architettura.. grazie ancora :)
p.s. crepi il lupo

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