Piano contenente una retta e ortogonale ad un altro piano

[_Daniele_]

Ho la retta $ r: { ( x=7+3t ),( y=5+2t ),( z=-2-4t ):} $ e il piano $ pi : 2x+y-z-3=0 $ .

Per trovare il piano $ sigma $ ho scritto il generico piano $ ax+by+cz+d=0 $ . Ho preso $(a,b,c)xx(2,1,-1)=0$ per trovare il vettore $(1,-1,1)$. Da quì ho scritto $ sigma : x-y+z+d=0 $ , per determinare $d$ ho imposto il passaggio per $(7,5,-2)$ così mi è venuto il piano $ sigma : x-y+z=0 $. Giusto?

[quantunquemente]

No,il piano che hai trovato non contiene la retta $r$; ad esempio,ad esso non appartiene il punto $(10,7,-6)$
scriviamo una rappresentazione cartesiana della retta $ { ( 2x-3y+1=0 ),( 2y+z-8=0 ):} $
il piano che cerchiamo deve appartenere al fascio di piani di asse $r$,di equazione
$2x-3y+1+k(2y+z-8)=0$
cioè
$2x+(2k-3)y+kz+1-8k=0$

imponendo la condizione di perpendicolarità tra piani
$4+2k-3-k=0$
si ottiene il piano $2x-5y-z+9=0$

[_Daniele_]

Grazie mille per il chiarimento