Perpendicolarità tra vettori

[giulietta_6]

Se ho una trasformazione T (di cui riporto la matrice che la rappresenta nelle basi canoniche) $R^3$ --> $R^3$

T = $((2,0,1),(2,1,1),(4,0,2))$

Dopo aver calcolato autovalori e relativi autovettori della T mi viene chiesto nell'esercizio di calcolare il nucleo della suddetta matrice.

W=KerT =Span $((1,0,-2))$

Come trovo W$\bot$ ?
Inoltre in seguito nell'esercizio mi viene chiesto di proiettare ortogonalmente il vettore v1= $((1,1,1))$ su U (che era l'immagine della T, che avevo precedentemente calcolato) :

U= ImT= Span ($((0,1,0))$ , $((1,1,2))$


Inoltre mi si chiede di calcolare W$\bot$ $nn$ U e anche W$\bot$ + U.

Scusate per le molte domande, ma la nostra prof. di geometria e algebra si è messa in malattia all'inizio del corso...e abbiamo dovuto come si suol dire arrangiarci...
grazie infinite per le risposte che spero mi darete....

[ciampax]

Per calcolare $W^\bot$ basta considerare tutti i vettori $(x,y,z)$ tali che $(x,y,z)\cdot(1,0,-2)=x-2z=0$, che ovviamente hanno la forma $(2z,y,z)$. Quindi

$W^\bot=<(2,0,1),(0,1,0)>$ (con $< >$ indico lo span).

Per la seconda, se indichi con $u_1,\ u_2$ i due vettori che generano $U$ la proiezione ortogonale $v_U$ di una qualsiasi vettore $v$ su $U$ è data dalla relazione

$v_U=(v\cdot u_1) u_1+(v\cdot u_2) u_2$.

Vado a pranzo poi ne riparliamo!.

[giulietta_6]

sei stato davvero chiaro!
grazie infinite!!