Permutazioni e Gruppi ciclici
Data la permutazione: $\sigma$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(10,14,7,2,6,9,13,12,8,3,1,4,11,5))$ che appartiene a S14,
sia H = <$\sigma^1247$>
(a) determinare |H|
svolgimento, la permutazione sigma è il prodotto di un 8-ciclo ed un 6-ciclo, o($\sigma$)=m.c.m(8,6)=24
ora 1247 mod24 = 23 mod24 quindi mi basta trovare l'ordine di o($\sigma^23$) per avere l'ordine di sigma elevato alla 1247
o($\sigma^23$) = o($\sigma$)/(M.C.D.(o($\sigma$),23)) = o($\sigma$) = 24
(b) determinare tutte le permutazioni $\tau$ appartenenti ad H tali che $\tau$(1) = 1
svolgimento, il prodotto tra cicli disgiunti resta disgiunto, il ciclo (1,10,3,7,13,11) ha periodo uguale a 6 quindi tutti le permutazioni $\tau$ che appartengono ad H sono le solo che soddisfano l'uguaglianza [n1247]6 = [0]6 con n appartenente a $NN$
vorrei sapere se il ragionamento che seguo è corretto, essendo la prima volta che mi addentro in questi argomenti sto trovando alcune difficoltà
sia H = <$\sigma^1247$>
(a) determinare |H|
svolgimento, la permutazione sigma è il prodotto di un 8-ciclo ed un 6-ciclo, o($\sigma$)=m.c.m(8,6)=24
ora 1247 mod24 = 23 mod24 quindi mi basta trovare l'ordine di o($\sigma^23$) per avere l'ordine di sigma elevato alla 1247
o($\sigma^23$) = o($\sigma$)/(M.C.D.(o($\sigma$),23)) = o($\sigma$) = 24
(b) determinare tutte le permutazioni $\tau$ appartenenti ad H tali che $\tau$(1) = 1
svolgimento, il prodotto tra cicli disgiunti resta disgiunto, il ciclo (1,10,3,7,13,11) ha periodo uguale a 6 quindi tutti le permutazioni $\tau$ che appartengono ad H sono le solo che soddisfano l'uguaglianza [n1247]6 = [0]6 con n appartenente a $NN$
vorrei sapere se il ragionamento che seguo è corretto, essendo la prima volta che mi addentro in questi argomenti sto trovando alcune difficoltà
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